Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (1,-1),(-3,-4) e (4,4).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 10.1
(B) 11.1
(C) 12.1
(D) 13.1
(E) 14.1
(F) 15.1
(G) 16.1
(H) 17.1
Passo 1
O enunciado pede: determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (1,-1), (-3,-4) e (4,4), e então escolher, entre as opções dadas, a que apresenta o valor mais próximo do raio.
Informações fornecidas e relações úteis (pegas do enunciado):
A equação expandida do círculo é x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
As relações com o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r sãoa=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Pontos pertencentes ao círculo: (1,-1), (-3,-4), (4,4).
O objetivo imediato: achar a,b,c resolvendo o sistema linear obtido ao substituir os três pontos na equação x^{2}+a x+y^{2}+b y=c; depois obter (x_{0},y_{0}) por x_{0}=-a/2,\;y_{0}=-b/2 e finalmente r por r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c.
Passo 2
Substituir cada ponto em x^{2}+a x+y^{2}+b y=c e escrever as três equações lineares em a,b,c.
Para (1,-1): x^{2}+y^{2}=1^{2}+(-1)^{2}=1+1=2. Então
2 + a\cdot 1 + b\cdot(-1) = c,
ou seja
a - b + 2 = c. \tag{1}
Para (-3,-4): x^{2}+y^{2}=(-3)^{2}+(-4)^{2}=9+16=25. Então
25 + a\cdot(-3) + b\cdot(-4) = c,
ou seja
-3a -4b +25 = c. \tag{2}
Para (4,4): x^{2}+y^{2}=4^{2}+4^{2}=16+16=32. Então
32 + a\cdot 4 + b\cdot 4 = c,
ou seja
4a +4b +32 = c. \tag{3}
Passo 3
Eliminar c fazendo subtrações entre (2),(3) e (1). Essa é uma técnica padrão: subtrai-se uma equação da outra para cancelar c.
Subtrair (1) de (2):
(-3a-4b+25) - (a - b +2) = 0 \quad\Rightarrow\quad -4a -3b +23 = 0,
ou
4a +3b = 23. \tag{4}
Subtrair (1) de (3):
(4a+4b+32) - (a - b +2) = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a +5b +30 = 0,
Resolver o sistema linear por eliminação (explico rapidamente o método: multiplica-se cada equação por coeficientes que permitam eliminar uma das variáveis ao subtrair as equações).
Multiplicar (4) por 3 e (5) por 4 para alinhar coeficiente de a:
(Como checagem, calcular com as aproximações de x_{0},y_{0},c também dá aproximadamente o mesmo r.)
Passo 8
Comparar com as opções fornecidas: as opções são (A) 10{,}1, (B) 11{,}1, (C) 12{,}1, (D) 13{,}1, (E) 14{,}1, (F) 15{,}1, (G) 16{,}1, (H) 17{,}1.
O valor calculado r\approx 14{,}089 está mais próximo de 14{,}1, que é a opção (E). Vai com confiança: deu trabalho, mas é isso — quase 14{,}09, logo arredondando para a casa dada, 14{,}1.