Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (1,-1),(-3,-4) e (4,4).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 10.1
(B) 11.1
(C) 12.1
(D) 13.1
(E) 14.1
(F) 15.1
(G) 16.1
(H) 17.1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (1,-1), (-3,-4) e (4,4), e então escolher, entre as opções dadas, a que apresenta o valor mais próximo do raio.
Informações fornecidas e relações úteis (pegas do enunciado):
  • A equação expandida do círculo é x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
  • As relações com o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r são a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
  • Pontos pertencentes ao círculo: (1,-1), (-3,-4), (4,4).
O objetivo imediato: achar a,b,c resolvendo o sistema linear obtido ao substituir os três pontos na equação x^{2}+a x+y^{2}+b y=c; depois obter (x_{0},y_{0}) por x_{0}=-a/2,\;y_{0}=-b/2 e finalmente r por r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c.

Passo 2

Substituir cada ponto em x^{2}+a x+y^{2}+b y=c e escrever as três equações lineares em a,b,c.
Para (1,-1): x^{2}+y^{2}=1^{2}+(-1)^{2}=1+1=2. Então
2 + a\cdot 1 + b\cdot(-1) = c,
ou seja
a - b + 2 = c. \tag{1}
Para (-3,-4): x^{2}+y^{2}=(-3)^{2}+(-4)^{2}=9+16=25. Então
25 + a\cdot(-3) + b\cdot(-4) = c,
ou seja
-3a -4b +25 = c. \tag{2}
Para (4,4): x^{2}+y^{2}=4^{2}+4^{2}=16+16=32. Então
32 + a\cdot 4 + b\cdot 4 = c,
ou seja
4a +4b +32 = c. \tag{3}

Passo 3

Eliminar c fazendo subtrações entre (2),(3) e (1). Essa é uma técnica padrão: subtrai-se uma equação da outra para cancelar c.
Subtrair (1) de (2):
(-3a-4b+25) - (a - b +2) = 0 \quad\Rightarrow\quad -4a -3b +23 = 0,
ou
4a +3b = 23. \tag{4}
Subtrair (1) de (3):
(4a+4b+32) - (a - b +2) = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a +5b +30 = 0,
ou
3a +5b = -30. \tag{5}
Portanto obtemos o sistema 2\times2:
\begin{cases} 4a + 3b = 23,\\[4pt] 3a + 5b = -30. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema linear por eliminação (explico rapidamente o método: multiplica-se cada equação por coeficientes que permitam eliminar uma das variáveis ao subtrair as equações).
Multiplicar (4) por 3 e (5) por 4 para alinhar coeficiente de a:
12a + 9b = 69, \tag{4'}
12a +20b = -120. \tag{5'}
Subtrair (4’) de (5’):
(12a+20b)-(12a+9b) = -120 - 69 \quad\Rightarrow\quad 11b = -189.
Logo
b = \frac{-189}{11}. \tag{6}
Substituir b em (5): 3a +5b = -30:
3a +5\cdot\frac{-189}{11} = -30 \quad\Rightarrow\quad 3a - \frac{945}{11} = -30.
Isolando a:
3a = -30 + \frac{945}{11} = \frac{-330+945}{11} = \frac{615}{11},
portanto
a = \frac{205}{11}. \tag{7}
Conferência rápida: substituir a e b em (4) dá 4\cdot\frac{205}{11} + 3\cdot\frac{-189}{11} = \frac{820-567}{11}=\frac{253}{11}=23, OK.

Passo 5

Encontrar c usando a equação (1): c = a - b + 2.
Substituindo (7) e (6):
c = \frac{205}{11} - \left(\frac{-189}{11}\right) + 2 = \frac{205+189}{11} + 2 = \frac{394}{11} + 2 = \frac{394}{11} + \frac{22}{11} = \frac{416}{11}.
Portanto
c = \frac{416}{11}. \tag{8}

Passo 6

Determinar o centro (x_{0},y_{0}) usando a=-2x_{0}, b=-2y_{0}.
Assim
x_{0} = -\frac{a}{2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{205}{11} = -\frac{205}{22},
y_{0} = -\frac{b}{2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{-189}{11} = \frac{189}{22}.
Para intuição rápida, aproximando:
x_{0}\approx -9{,}318\quad,\quad y_{0}\approx 8{,}591.

Passo 7

Calcular o raio r usando r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c (isso vem de c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} rearranjando).
Calcular x_{0}^{2}+y_{0}^{2} com frações:
x_{0}^{2}+y_{0}^{2} = \left(\frac{205}{22}\right)^{2} + \left(\frac{189}{22}\right)^{2} = \frac{205^{2}+189^{2}}{22^{2}} = \frac{42025+35721}{484} = \frac{77746}{484}.
Somar c=\dfrac{416}{11}. Para somar, passar c ao mesmo denominador 484: \dfrac{416}{11}=\dfrac{416\cdot 44}{484}=\dfrac{18304}{484}.
Então
r^{2} = \frac{77746}{484} + \frac{18304}{484} = \frac{96050}{484} = \frac{48025}{242}.
Valor numérico:
r^{2}\approx 198{,}450413\quad\Rightarrow\quad r\approx \sqrt{198{,}450413}\approx 14{,}089\ldots
(Como checagem, calcular com as aproximações de x_{0},y_{0},c também dá aproximadamente o mesmo r.)

Passo 8

Comparar com as opções fornecidas: as opções são (A) 10{,}1, (B) 11{,}1, (C) 12{,}1, (D) 13{,}1, (E) 14{,}1, (F) 15{,}1, (G) 16{,}1, (H) 17{,}1.
O valor calculado r\approx 14{,}089 está mais próximo de 14{,}1, que é a opção (E). Vai com confiança: deu trabalho, mas é isso — quase 14{,}09, logo arredondando para a casa dada, 14{,}1.

Resposta

(E) 14,1

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