Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 2 & 2 & -6 & 0 \\\\ -1 & 0 & 8 & 0 \\\\ 2 & 6 & -10 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -12
(B) -11
(C) -10
(D) -9
(E) -8
(F) -7
(G) -6
(H) -5
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz aumentada do sistema linear:
O que se pede: escolher, entre as opções fornecidas, o valor de k tal que o sistema tenha solução. As opções são:
(A) -12, (B) -11, (C) -10, (D) -9, (E) -8, (F) -7, (G) -6, (H) -5.
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (sem avançar a resolução): vou aplicar operações elementares por linhas (adição de múltiplos de uma linha a outra, troca de linhas, multiplicação de linha por escalar não nulo) para reduzir a matriz a uma forma triangular (eliminação de Gauss). Isso permite identificar pivôs e detectar inconsistência: se, ao final, aparecer uma linha da forma \left[0\\\ 0\\\ 0 \mid c\right] com c\neq0, o sistema é incompatível; se isso não ocorrer, o sistema é compatível. As operações preservam o conjunto de soluções.
Passo 3
Começo usando a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo da coluna 1.
Explicação didática: dividir a linha por -2 é permitido porque multiplica a equação por um escalar não nulo; isso facilita zerar as entradas na mesma coluna nas outras linhas.
Passo 5
Agora uso o pivô da segunda coluna (linha 2) para zerar as entradas nas linhas 3 e 4 na coluna 2.
Interpretação final para compatibilidade: a última linha representa a equação \;0x_1+0x_2+0x_3 = k+6, ou seja \;0 = k+6. Para que esta equação seja verdadeira (e o sistema tenha solução), é necessário e suficiente que k+6=0, isto é \;k = -6.
Se k\neq -6 aparece uma equação impossível 0 = número diferente de zero, e o sistema seria incompatível.
Passo 8
Conclusão com ligação às opções: k=-6 corresponde à opção (G). Força aí — já resolvemos!