Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 2 & 2 & -6 & 0 \\\\ -1 & 0 & 8 & 0 \\\\ 2 & 6 & -10 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -12
(B) -11
(C) -10
(D) -9
(E) -8
(F) -7
(G) -6
(H) -5

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada do sistema linear:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 2 & 2 & -6 & 0 \\\\ -1 & 0 & 8 & 0 \\\\ 2 & 6 & -10 & k \end{array}\right]
O que se pede: escolher, entre as opções fornecidas, o valor de k tal que o sistema tenha solução. As opções são:
(A) -12, (B) -11, (C) -10, (D) -9, (E) -8, (F) -7, (G) -6, (H) -5.

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (sem avançar a resolução): vou aplicar operações elementares por linhas (adição de múltiplos de uma linha a outra, troca de linhas, multiplicação de linha por escalar não nulo) para reduzir a matriz a uma forma triangular (eliminação de Gauss). Isso permite identificar pivôs e detectar inconsistência: se, ao final, aparecer uma linha da forma \left[0\\\ 0\\\ 0 \mid c\right] com c\neq0, o sistema é incompatível; se isso não ocorrer, o sistema é compatível. As operações preservam o conjunto de soluções.

Passo 3

Começo usando a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo da coluna 1.
Faço L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1, L_3 \leftarrow L_3 + L_1, L_4 \leftarrow L_4 - 2L_1.
Calculemos cada uma:
Para L_2:
L_2 - 2L_1 = (2,2,-6\mid0) - 2(1,2,-2\mid-1) = (0,-2,-2\mid2).
Para L_3:
L_3 + L_1 = (-1,0,8\mid0) + (1,2,-2\mid-1) = (0,2,6\mid-1).
Para L_4:
L_4 - 2L_1 = (2,6,-10\mid k) - 2(1,2,-2\mid-1) = (0,2,-6\mid k+2).
A matriz fica então
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 0 & -2 & -2 & 2 \\\\ 0 & 2 & 6 & -1 \\\\ 0 & 2 & -6 & k+2 \end{array}\right].

Passo 4

Simplifico a segunda linha para criar um pivô igual a 1. Faço L_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}L_2.
L_2 = -\tfrac{1}{2}(0,-2,-2\mid2) = (0,1,1\mid -1).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 2 & 6 & -1 \\\\ 0 & 2 & -6 & k+2 \end{array}\right].
Explicação didática: dividir a linha por -2 é permitido porque multiplica a equação por um escalar não nulo; isso facilita zerar as entradas na mesma coluna nas outras linhas.

Passo 5

Agora uso o pivô da segunda coluna (linha 2) para zerar as entradas nas linhas 3 e 4 na coluna 2.
Faço L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2 e L_4 \leftarrow L_4 - 2L_2.
Calculemos:
Para L_3:
L_3 - 2L_2 = (0,2,6\mid -1) - 2(0,1,1\mid -1) = (0,0,4\mid 1).
Para L_4:
L_4 - 2L_2 = (0,2,-6\mid k+2) - 2(0,1,1\mid -1) = (0,0,-8\mid k+4).
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & -8 & k+4 \end{array}\right].
Comentário didático: agora já temos pivôs na coluna 1 e 2; resta trabalhar a coluna 3.

Passo 6

Uso a linha 3 para pivotar na coluna 3. Primeiro normalizo L_3 dividindo por 4: L_3 \leftarrow \tfrac{1}{4}L_3.
L_3 = \tfrac{1}{4}(0,0,4\mid1) = (0,0,1\mid \tfrac{1}{4}).
Agora elimino a entrada da linha 4 na coluna 3: como L_4 tem -8 na coluna 3, faço L_4 \leftarrow L_4 + 8L_3.
Calculemos o novo lado direito de L_4:
k+4 + 8\cdot\left(\tfrac{1}{4}\right) = k+4 + 2 = k+6.
E como a coluna 3 fica -8 + 8\cdot 1 = 0, a linha 4 transforma-se em (0,0,0\mid k+6).
A matriz final (na forma escalonada) é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{4} \\\\ 0 & 0 & 0 & k+6 \end{array}\right].

Passo 7

Interpretação final para compatibilidade: a última linha representa a equação \;0x_1+0x_2+0x_3 = k+6, ou seja \;0 = k+6. Para que esta equação seja verdadeira (e o sistema tenha solução), é necessário e suficiente que k+6=0, isto é \;k = -6.
Se k\neq -6 aparece uma equação impossível 0 = número diferente de zero, e o sistema seria incompatível.

Passo 8

Conclusão com ligação às opções: k=-6 corresponde à opção (G). Força aí — já resolvemos!

Resposta

(G) -6

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