Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação ( * ) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-4,-3),(-1,3) e (2,5).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 3.1
(B) 4.1
(C) 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Pontos dados: (-4,-3), (-1,3), (2,5).
  • Queremos determinar o centro \left(x_{0},y_{0}\right) e o raio r do círculo que passa por esses três pontos.
  • Informações úteis que vamos usar (a partir do enunciado):
    • A forma expandida da equação do círculo é x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,onde \;a=-2x_{0},\; b=-2y_{0},\; c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
    • Se os três pontos pertencem ao mesmo círculo, ao substituir cada ponto na equação acima obtemos três equações lineares nas incógnitas a,b,c. Essas três equações permitem determinar a,b,c. Depois recuperamos x_{0},y_{0} por x_{0}=-\dfrac{a}{2} e y_{0}=-\dfrac{b}{2} e o raio por r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.

Passo 2

Montar as três equações lineares substituindo cada ponto na equação x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Para (-4,-3): calcular x^{2}+y^{2}=(-4)^{2}+(-3)^{2}=16+9=25. Substituindo,
25-4a-3b=c.
Reescrevendo em forma linear (colocando tudo no lado esquerdo):
-4a-3b-c=-25. \tag{1}
Para (-1,3): calcular x^{2}+y^{2}=(-1)^{2}+3^{2}=1+9=10. Substituindo,
10-a+3b=c,
ou
-a+3b-c=-10. \tag{2}
Para (2,5): calcular x^{2}+y^{2}=2^{2}+5^{2}=4+25=29. Substituindo,
29+2a+5b=c,
ou
2a+5b-c=-29. \tag{3}
Agora temos o sistema linear nas incógnitas a,b,c: (1),(2),(3).

Passo 3

Eliminar c\) para obter equações apenas em \(a\) e \(b\). Subtraio a equação \((2)\) de \((1)\): \[(-4a-3b-c)-(-a+3b-c) = -25-(-10).
No lado esquerdo os termos -c se cancelam; simplificando:
-4a-3b -(-a+3b) = -15 \;\Rightarrow\; -4a-3b + a -3b = -15
-3a-6b = -15 \;\Rightarrow\; a+2b=5. \tag{4}
Subtraio a equação (2) de (3):
(2a+5b-c)-(-a+3b-c) = -29-(-10).
Simplificando:
2a+5b + a -3b = -19 \;\Rightarrow\; 3a+2b=-19. \tag{5}
Agora resolvo o sistema formado por (4) e (5):
\begin{cases} a+2b=5,\\[4pt] 3a+2b=-19. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar b\]: \[(3a+2b)-(a+2b) = -19-5 \;\Rightarrow\; 2a = -24 \;\Rightarrow\; a=-12.\] Substituindo \(a=-12 em (4):
-12+2b=5 \;\Rightarrow\; 2b=17 \;\Rightarrow\; b=\dfrac{17}{2}=8{,}5.]

Passo 4

Determinar c usando uma das equações originais (uso (2)):
-a+3b-c=-10.
Substituindo a=-12 e b=\dfrac{17}{2}:
-(-12)+3\cdot\frac{17}{2}-c=-10 \;\Rightarrow\; 12+\frac{51}{2}-c=-10.
Somando 12+\dfrac{51}{2}=\dfrac{24}{2}+\dfrac{51}{2}=\dfrac{75}{2}=37{,}5. Assim
37{,}5 - c = -10 \;\Rightarrow\; -c = -47{,}5 \;\Rightarrow\; c = 47{,}5 = \dfrac{95}{2}.
Portanto a=-12, b=\dfrac{17}{2}, c=\dfrac{95}{2}.

Passo 5

Recuperar o centro \left(x_{0},y_{0}\right) a partir de a=-2x_{0} e b=-2y_{0}.
x_{0} = -\dfrac{a}{2} = -\dfrac{-12}{2} = 6,
y_{0} = -\dfrac{b}{2} = -\dfrac{17/2}{2} = -\dfrac{17}{4} = -4{,}25.
Então o centro é \left(6,-\dfrac{17}{4}\right) ou \left(6,-4{,}25\right).

Passo 6

Calcular o raio r. Usamos a relação
r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Substituindo valores exatos:
x_{0}^{2}=6^{2}=36,\qquad y_{0}^{2}=\left(\dfrac{17}{4}\right)^{2}=\dfrac{289}{16}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 16:
36=\dfrac{576}{16},\qquad c=\dfrac{95}{2}=\dfrac{760}{16}.
Logo
r^{2}=\dfrac{760}{16}+\dfrac{576}{16}+\dfrac{289}{16}=\dfrac{760+576+289}{16}=\dfrac{1625}{16}.
Assim
r=\dfrac{\sqrt{1625}}{4}=\dfrac{5\sqrt{65}}{4}\approx 10{,}078.

Passo 7

Escolher a opção cujo valor está mais próximo de r.
  • O valor aproximado do raio é r\approx 10{,}078, que é mais próximo de 10{,}1.
  • Portanto a alternativa correta é (H).

Resposta

Centro: \left(6,-\dfrac{17}{4}\right), raio: r=\dfrac{5\sqrt{65}}{4}\approx 10{,}078
Resposta entre as opções: (H)

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