Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação ( * ) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-4,-3),(-1,3) e (2,5).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 3.1
(B) 4.1
(C) 5.1
(D) 6.1
(E) 7.1
(F) 8.1
(G) 9.1
(H) 10.1
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
Pontos dados: (-4,-3), (-1,3), (2,5).
Queremos determinar o centro \left(x_{0},y_{0}\right) e o raio r do círculo que passa por esses três pontos.
Informações úteis que vamos usar (a partir do enunciado):
A forma expandida da equação do círculo éx^{2}+a x+y^{2}+b y=c,onde \;a=-2x_{0},\; b=-2y_{0},\; c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se os três pontos pertencem ao mesmo círculo, ao substituir cada ponto na equação acima obtemos três equações lineares nas incógnitas a,b,c. Essas três equações permitem determinar a,b,c. Depois recuperamos x_{0},y_{0} por x_{0}=-\dfrac{a}{2} e y_{0}=-\dfrac{b}{2} e o raio por r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Passo 2
Montar as três equações lineares substituindo cada ponto na equação x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Para (-4,-3): calcular x^{2}+y^{2}=(-4)^{2}+(-3)^{2}=16+9=25. Substituindo,
25-4a-3b=c.
Reescrevendo em forma linear (colocando tudo no lado esquerdo):
-4a-3b-c=-25. \tag{1}
Para (-1,3): calcular x^{2}+y^{2}=(-1)^{2}+3^{2}=1+9=10. Substituindo,
10-a+3b=c,
ou
-a+3b-c=-10. \tag{2}
Para (2,5): calcular x^{2}+y^{2}=2^{2}+5^{2}=4+25=29. Substituindo,
29+2a+5b=c,
ou
2a+5b-c=-29. \tag{3}
Agora temos o sistema linear nas incógnitas a,b,c: (1),(2),(3).
Passo 3
Eliminar c\) para obter equações apenas em \(a\) e \(b\). Subtraio a equação \((2)\) de \((1)\):
\[(-4a-3b-c)-(-a+3b-c) = -25-(-10).
No lado esquerdo os termos -c se cancelam; simplificando:
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar b\]:
\[(3a+2b)-(a+2b) = -19-5 \;\Rightarrow\; 2a = -24 \;\Rightarrow\; a=-12.\]
Substituindo \(a=-12 em (4):