Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que x_{1}-5 x_{3}=-7 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}8 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -6 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}8 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}-12 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}-12 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}-22 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}-22 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 6 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de todos os \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^4 que satisfazem a equação
x_{1}-5x_{3}=-7.
Pede-se escolher qual das representações afins listadas (A)–(H) é igual a esse conjunto. Informações relevantes dadas:
  • Há uma única equação linear ligando as quatro coordenadas.
  • Logo o conjunto tem grau de liberdade 3 (três parâmetros livres).
  • Cada opção apresenta um vetor particular e a \operatorname{span} de três vetores (uma subvariedade afim de dimensão até 3).

Passo 2

Vamos escrever a solução geral da equação de modo explícito, escolhendo parâmetros livres.
Da equação temos
x_{1} = -7 + 5x_{3}.
Tome s=x_{3}, t=x_{2} e u=x_{4} como parâmetros livres. Então
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (-7+5s,\; t,\; s,\; u).
Reescrevendo em forma de vetor como soma de um vetor particular mais combinações lineares:
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = \begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto uma descrição canônica é
\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Aqui \begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} é um particular qualquer que satisfaz a equação, e os três vetores da \operatorname{span} geram todas as soluções da homogênea x_{1}-5x_{3}=0.

Passo 3

Critério prático para testar cada opção:
  1. Os três vetores que aparecem na \operatorname{span} da opção devem gerar exatamente a mesma subespaço que \operatorname{span}\{\,(5,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\,\}. Em outras palavras, cada um dos vetores canônicos deve ser combinação linear dos vetores da opção (ou os vetores da opção são escalares desses canônicos).
  2. O vetor particular da opção deve satisfazer a equação x_{1}-5x_{3}=-7. (Isto é necessário: todo vetor particular da representação afim deve pertencer ao conjunto.)
Se ambas as condições forem verdadeiras, a opção representa exatamente o conjunto pedido.

Passo 4

Testo a opção (B) em detalhe (mostrando por que funciona):
  • A \operatorname{span} dada em (B) é
\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
Compare com os vetores canônicos da Passo 2:
\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\quad\text{já aparece idêntico.}áê
Os outros dois vetores são múltiplos escalares dos canônicos:
\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Logo a \operatorname{span} de (B) é exatamente a \operatorname{span} canônica \operatorname{span}\{\,(5,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\,\}.
  • Agora verifico o vetor particular da (B): \begin{pmatrix}8\\\ 2\\\ 3\\\ -3\end{pmatrix}. Calculando
x_{1}-5x_{3}=8 - 5\cdot 3 = 8-15 = -7,
portanto esse vetor particular satisfaz a equação. Assim (B) cumpre ambas as condições e representa corretamente o conjunto.

Passo 5

Para reforçar a escolha, vou eliminar rapidamente opções que falham por uma verificação simples:
  • Algumas opções têm vetores na \operatorname{span} que não obedecem à relação x_{1}=5x_{3} (por exemplo vetores com x_{3}=0 e x_{1}\neq 0), logo a \operatorname{span} delas não fica contida na solução homogênea e portanto não podem ser a correta (ex.: (A) contém (-4,0,0,0), (H) contém (-7,0,0,0), etc.).
  • Outras opções têm \operatorname{span} correta (múltiplos dos vetores canônicos) mas o vetor particular não satisfaz a equação; por exemplo (F) tem \operatorname{span} gerando o espaço homogêneo, porém o particular \begin{pmatrix}-12\\\ -2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}
-12 - 5\cdot 3 = -27 \neq -7,
logo (F) falha.
Esses tipos de cheques (ou o cheque direto que fiz na (B)) são suficientes para decidir única opção correta.

Passo 6

Conclusão: a única opção que tem a mesma \operatorname{span} homogênea e cujo vetor particular satisfaz x_{1}-5x_{3}=-7 é a opção (B).

Resposta

(B)

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