Aqui \begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} é um particular qualquer que satisfaz a equação, e os três vetores da \operatorname{span} geram todas as soluções da homogênea x_{1}-5x_{3}=0.
Passo 3
Critério prático para testar cada opção:
Os três vetores que aparecem na \operatorname{span} da opção devem gerar exatamente a mesma subespaço que \operatorname{span}\{\,(5,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\,\}. Em outras palavras, cada um dos vetores canônicos deve ser combinação linear dos vetores da opção (ou os vetores da opção são escalares desses canônicos).
O vetor particular da opção deve satisfazer a equação x_{1}-5x_{3}=-7. (Isto é necessário: todo vetor particular da representação afim deve pertencer ao conjunto.)
Se ambas as condições forem verdadeiras, a opção representa exatamente o conjunto pedido.
Passo 4
Testo a opção (B) em detalhe (mostrando por que funciona):
Logo a \operatorname{span} de (B) é exatamente a \operatorname{span} canônica \operatorname{span}\{\,(5,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\,\}.
Agora verifico o vetor particular da (B): \begin{pmatrix}8\\\ 2\\\ 3\\\ -3\end{pmatrix}. Calculando
x_{1}-5x_{3}=8 - 5\cdot 3 = 8-15 = -7,
portanto esse vetor particular satisfaz a equação. Assim (B) cumpre ambas as condições e representa corretamente o conjunto.
Passo 5
Para reforçar a escolha, vou eliminar rapidamente opções que falham por uma verificação simples:
Algumas opções têm vetores na \operatorname{span} que não obedecem à relação x_{1}=5x_{3} (por exemplo vetores com x_{3}=0 e x_{1}\neq 0), logo a \operatorname{span} delas não fica contida na solução homogênea e portanto não podem ser a correta (ex.: (A) contém (-4,0,0,0), (H) contém (-7,0,0,0), etc.).
Outras opções têm \operatorname{span} correta (múltiplos dos vetores canônicos) mas o vetor particular não satisfaz a equação; por exemplo (F) tem \operatorname{span} gerando o espaço homogêneo, porém o particular \begin{pmatrix}-12\\\ -2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix} dá
-12 - 5\cdot 3 = -27 \neq -7,
logo (F) falha.
Esses tipos de cheques (ou o cheque direto que fiz na (B)) são suficientes para decidir única opção correta.
Passo 6
Conclusão: a única opção que tem a mesma \operatorname{span} homogênea e cujo vetor particular satisfaz x_{1}-5x_{3}=-7 é a opção (B).