Q3: Sabendo que o ponto (2,5,0, k) pertence ao plano (2,-1,1,3)+\operatorname{span}\{(-3,3,-2,-2),(-3,-3,-1,-1)\}, assinale o valor de k :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de k tal que o ponto (2,5,0,k) pertença ao plano dado por
(2,-1,1,3)+\operatorname{span}\{(-3,3,-2,-2),\,(-3,-3,-1,-1)\}.
Informações dadas:
  • Ponto base do plano: P_0=(2,-1,1,3).
  • Vetores de direção (que geram o plano): v_1=(-3,3,-2,-2) e v_2=(-3,-3,-1,-1).
  • Ponto candidato: Q=(2,5,0,k).
    O que se pede: determinar k de modo que Q esteja no plano indicado.

Passo 2

Entendendo o que significa o plano apresentado (aula rápida e prática):
  • O plano é o conjunto de todos os pontos da forma
P_0 + s\,v_1 + t\,v_2,
onde s e t são escalares reais (parâmetros). Aqui:
  • s e t representam quanto se desloca ao longo dos vetores v_1 e v_2.
  • Para que Q pertença ao plano, devem existir s,t\in\mathbb{R} tais que
Q = P_0 + s\,v_1 + t\,v_2.
Esse é o método padrão: escrever a parametrização e igualar coordenadas.

Passo 3

Escrevendo a expressão componente a componente. Primeiro a parametrização:
P_0 + s\,v_1 + t\,v_2 = (2,-1,1,3) + s(-3,3,-2,-2) + t(-3,-3,-1,-1).
Somando coordenada a coordenada obtemos o ponto genérico do plano:
(2-3s-3t,\; -1+3s-3t,\; 1-2s-t,\; 3-2s-t).
Agora impomos que esse ponto seja igual a Q=(2,5,0,k). Isso gera um sistema de equações (cada coordenada gera uma equação).

Passo 4

Escrevendo as equações obtidas ao igualar coordenadas:
  1. Primeira coordenada:
2-3s-3t = 2.
  1. Segunda coordenada:
-1+3s-3t = 5.
  1. Terceira coordenada:
1-2s-t = 0.
  1. Quarta coordenada (contém k):
3-2s-t = k.
Vamos resolver para s e t usando as primeiras duas equações, e depois usar a terceira como verificação; finalmente obtemos k pela quarta.

Passo 5

Resolver a primeira equação: subtrai 2 de ambos os lados,
2-3s-3t=2 \quad\Rightarrow\quad -3s-3t=0.
Dividindo por -3,
s+t=0. \tag{E1}
Resolver a segunda equação:
-1+3s-3t=5 \quad\Rightarrow\quad 3s-3t=6.
Dividindo por 3,
s-t=2. \tag{E2}

Passo 6

Resolver o sistema formado por (E1)\) e \((E2)\): \[\begin{cases} s+t=0,\\[4pt] s-t=2. \end{cases}
Somando as duas equações:
(s+t)+(s-t)=0+2 \quad\Rightarrow\quad 2s=2 \quad\Rightarrow\quad s=1.
Substituindo em (s+t=0]:
1+t=0 \quad\Rightarrow\quad t=-1.]

Passo 7

Verificação usando a terceira coordenada (para garantir consistência):
1-2s-t = 1-2\cdot1 -(-1) = 1-2+1 = 0,
que coincide com a terceira coordenada de Q. Ótimo: s=1 e t=-1 são consistentes.

Passo 8

Calcular k pela quarta coordenada:
k = 3-2s-t = 3-2\cdot1 -(-1) = 3-2+1 = 2.
Portanto k=2.

Resposta

(B) 2

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