Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-24 x-36 y-12 z=-8, \\\\ -24 x-3 z=-12 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} 45 x+15 y+10 z & =30 \\\\ 36 x+12 y+8 z & =24 . \end{aligned}\right.
O enunciado apresenta seis opções (A)–(F). Em cada opção há dois sistemas lineares em [x,y,z). A pergunta é: em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^{3})?
Vou listar aqui, exatamente como aparecem, os dois sistemas de cada opção (apenas copiei os sistemas do enunciado):
O que se pede é identificar qual opção tem os dois sistemas com conjuntos-solução que são retas em (\mathbb{R}^3].
Passo 2
Escolha do método (breve justificativa): para um sistema linear de 3 incógnitas, o conjunto solução é um subespaço afim cuja dimensão (quando o sistema é homogêneo ou, no caso não-homogêneo, afim) é igual a 3-\operatorname{rank}(A) se o sistema for compatível (aqui A é a matriz dos coeficientes). Assim, para que o conjunto-solução tenha dimensão 1 precisamos que (i) o sistema seja compatível e (ii) a matriz de coeficientes tenha posto 2. Na prática, para cada sistema vou verificar dependências entre equações (lin. dependência → posto menor) e compatibilidade (verificando se proporções entre coeficientes se mantêm também nos termos independentes). Quando houver posto 2 e compatibilidade, o conjunto-soluição é uma reta.
Agora aplicarei esse método sistema a sistema, explicando passo a passo as contas e dando a forma paramétrica quando necessário (para confirmar a reta).
Temos duas equações em três incógnitas. Verifico se são múltiplas uma da outra: os vetores de coeficientes são (-24,-36,-12) e (-24,0,-3). Não existe escalar \lambda tal que (-24,-36,-12)=\lambda(-24,0,-3) (pois -36 não é \lambda\cdot 0). Logo as duas linhas são linearmente independentes → posto da matriz dos coeficientes é 2. Com duas equações independentes em três incógnitas, se o sistema for compatível então a solução tem dimensão 3-2=1. Para verificar compatibilidade basta observar que não há contradição imediata (as duas retas de equações não dão uma equação impossível); podemos, por completude, eliminar x: subtraindo a segunda da primeira:
(-24x-36y-12z)-(-24x-3z)=(-8)-(-12),
o que dá
-36y-9z=4.
Isto é perfeitamente consistente e teremos uma equação linear a mais para relacionar y,z. Portanto o posto é 2 e o sistema é compatível → conjunto-solucão é uma reta (dimensão 1).
Portanto as duas equações são proporção uma da outra → as linhas são dependentes → posto da matriz dos coeficientes é 1. Assim o espaço solução (se compatível) tem dimensão 3-1=2 (um plano). De fato a segunda equação sozinha define um plano; não é uma reta. Conclusão: em (A) o Sistema 1 tem dimensão 1 mas o Sistema 2 tem dimensão 2. Logo (A) não satisfaz a condição pedida (os dois sistemas devem ter dimensão 1).
Logo a terceira equação é dependente da segunda. Portanto efetivamente há duas equações independentes (a primeira e a segunda) em três incógnitas. O posto da matriz dos coeficientes é 2, e não há contradição aparente entre primeiras duas equações → sistema compatível → dimensão da solução =3-2=1. Então o Sistema 1 de (B) é uma reta.
Obteve-se uma solução única (x,y,z)=\left(\dfrac{85}{3},-20,4\right). Isso significa que o conjunto solução é um ponto (dimensão 0), não uma reta. Conclusão: em (B) o Sistema 1 é reta, o Sistema 2 é ponto → (B) não satisfaz.
Temos duas equações; os vetores de coeficientes são (-28,-4,-8) e (-27,-18,0). Eles não são múltiplos um do outro (não existe escalar \lambda tal que (-28,-4,-8)=\lambda(-27,-18,0), porque a terceira componente do segundo é 0 enquanto a do primeiro é -8). Então as equações são independentes → posto =2 → se compatível, solução de dimensão 1. Não há contradição imediata, então Sistema 1 em (C) é uma reta.
Verifico proporção: multiplicando a segunda equação por \dfrac{30}{24}=\dfrac{5}{4} obtemos exatamente a primeira (inclusive nos termos independentes: 8\cdot\dfrac{5}{4}=10). Logo as duas equações são dependentes → posto =1 → solução (quando compatível) tem dimensão 3-1=2. Assim o Sistema 2 é um plano, não uma reta. Conclusão: (C) falha.
Primeiro observo que a segunda equação é -4\) vezes a primeira, pois
\[-4(6x+9y+3z)=(-24x-36y-12z) \quad\text{e}\quad -4\cdot 2 = -8.
Logo a segunda equação não traz informação nova; as equações independentes restantes são a primeira e a terceira:
6x+9y+3z=2,\qquad y+7z=8.
Essas duas equações são claramente independentes (os vetores de coeficientes (6,9,3) e (0,1,7) não são múltiplos). Portanto o posto da matriz dos coeficientes é 2. Verifico compatibilidade: não há contradição entre elas. Posso parametricamente resolver para confirmar a reta: a partir de y+7z=8 escrevo y=8-7z. Substituo em 6x+9y+3z=2:
Temos duas equações em três incógnitas. Verifico se são múltiplas: os vetores de coeficientes são (-18,-27,-9) e (-32,0,-4); não é possível obter um do outro por multiplicação escalar (porque a segunda componente do segundo vetor é 0 enquanto a do primeiro é -27). Assim as equações são independentes → posto =2. Não há contradição evidente, então o sistema é compatível e a solução terá dimensão 3-2=1 (uma reta). Podemos também achar a forma paramétrica para confirmar: da segunda equação isolamos z em função de x: