Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-24 x-36 y-12 z=-8, \\\\ -24 x-3 z=-12 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} 45 x+15 y+10 z & =30 \\\\ 36 x+12 y+8 z & =24 . \end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}7 x+y+2 z=9, \\\\ 9 x+6 y=7, \\\\ -27 x-18 y=-21 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} -24 x-36 y-12 z=-8, \\\\ -3 y-21 z=-24, \\\ z=4 . \end{array}\right.
(C) \quad\left\{\begin{aligned}-28 x-4 y-8 z & =-36, \\\\ -27 x-18 y & =-21 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{array}{r} 30 x+45 y+15 z=10 \\\\ 24 x+36 y+12 z=8 . \end{aligned}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}6 x+9 y+3 z=2, \\\\ -24 x-36 y-12 z=-8, \\\ y+7 z=8 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} -18 x-27 y-9 z=-6, \\\\ -32 x-4 z=-16 . \end{aligned}\right.
(E) \quad\left\{\begin{aligned} 6 x+9 y+3 z & =2, \\\ y+7 z & =8, \\\ z & =4 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned} 30 x+45 y+15 z & =10 \\\\ 32 x+4 z & =16 . \end{aligned}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}3 y+21 z=24, \\\\ -5 y-35 z=-40 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 9 x+3 y+2 z=6, \\\\ 8 x+z=4, \\\\ 40 x+5 z=20 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta seis opções (A)–(F). Em cada opção há dois sistemas lineares em [x,y,z). A pergunta é: em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^{3})?
Vou listar aqui, exatamente como aparecem, os dois sistemas de cada opção (apenas copiei os sistemas do enunciado):
  • (A) Sistema 1:
\begin{cases} -24x-36y-12z=-8,\\\\ -24x-3z=-12. \end{cases}
Sistema 2:
\begin{cases} 45x+15y+10z=30,\\\\ 36x+12y+8z=24. \end{cases}
  • (B) Sistema 1:
\begin{cases} 7x+y+2z=9,\\\\ 9x+6y=7,\\\\ -27x-18y=-21. \end{cases}
Sistema 2:
\begin{cases} -24x-36y-12z=-8,\\\\ -3y-21z=-24,\\\ z=4. \end{cases}
  • (C) Sistema 1:
\begin{cases} -28x-4y-8z=-36,\\\\ -27x-18y=-21. \end{cases}
Sistema 2:
\begin{cases} 30x+45y+15z=10,\\\\ 24x+36y+12z=8. \end{cases}
  • (D) Sistema 1:
\begin{cases} 6x+9y+3z=2,\\\\ -24x-36y-12z=-8,\\\ y+7z=8. \end{cases}
Sistema 2:
\begin{cases} -18x-27y-9z=-6,\\\\ -32x-4z=-16. \end{cases}
  • (E) Sistema 1:
\begin{cases} 6x+9y+3z=2,\\\ y+7z=8,\\\ z=4. \end{cases}
Sistema 2:
\begin{cases} 30x+45y+15z=10,\\\\ 32x+4z=16. \end{cases}
  • (F) Sistema 1:
\begin{cases} 3y+21z=24,\\\\ -5y-35z=-40. \end{cases}
Sistema 2:
\begin{cases} 9x+3y+2z=6,\\\\ 8x+z=4,\\\\ 40x+5z=20. \end{cases}
O que se pede é identificar qual opção tem os dois sistemas com conjuntos-solução que são retas em (\mathbb{R}^3].

Passo 2

Escolha do método (breve justificativa): para um sistema linear de 3 incógnitas, o conjunto solução é um subespaço afim cuja dimensão (quando o sistema é homogêneo ou, no caso não-homogêneo, afim) é igual a 3-\operatorname{rank}(A) se o sistema for compatível (aqui A é a matriz dos coeficientes). Assim, para que o conjunto-solução tenha dimensão 1 precisamos que (i) o sistema seja compatível e (ii) a matriz de coeficientes tenha posto 2. Na prática, para cada sistema vou verificar dependências entre equações (lin. dependência → posto menor) e compatibilidade (verificando se proporções entre coeficientes se mantêm também nos termos independentes). Quando houver posto 2 e compatibilidade, o conjunto-soluição é uma reta.
Agora aplicarei esse método sistema a sistema, explicando passo a passo as contas e dando a forma paramétrica quando necessário (para confirmar a reta).

Passo 3

Análise da opção (A), Sistema 1:
\begin{cases} -24x-36y-12z=-8,\\\\ -24x-3z=-12. \end{cases}
Temos duas equações em três incógnitas. Verifico se são múltiplas uma da outra: os vetores de coeficientes são (-24,-36,-12) e (-24,0,-3). Não existe escalar \lambda tal que (-24,-36,-12)=\lambda(-24,0,-3) (pois -36 não é \lambda\cdot 0). Logo as duas linhas são linearmente independentes → posto da matriz dos coeficientes é 2. Com duas equações independentes em três incógnitas, se o sistema for compatível então a solução tem dimensão 3-2=1. Para verificar compatibilidade basta observar que não há contradição imediata (as duas retas de equações não dão uma equação impossível); podemos, por completude, eliminar x: subtraindo a segunda da primeira:
(-24x-36y-12z)-(-24x-3z)=(-8)-(-12),
o que dá
-36y-9z=4.
Isto é perfeitamente consistente e teremos uma equação linear a mais para relacionar y,z. Portanto o posto é 2 e o sistema é compatível → conjunto-solucão é uma reta (dimensão 1).

Passo 4

Análise da opção (A), Sistema 2:
\begin{cases} 45x+15y+10z=30,\\\\ 36x+12y+8z=24. \end{cases}
Comparo as duas linhas: observe que multiplicando a segunda equação por \dfrac{45}{36}=\dfrac{5}{4} obtemos exatamente a primeira:
\left(36,12,8;24\right)\cdot\dfrac{5}{4}=(45,15,10;30).
Portanto as duas equações são proporção uma da outra → as linhas são dependentes → posto da matriz dos coeficientes é 1. Assim o espaço solução (se compatível) tem dimensão 3-1=2 (um plano). De fato a segunda equação sozinha define um plano; não é uma reta. Conclusão: em (A) o Sistema 1 tem dimensão 1 mas o Sistema 2 tem dimensão 2. Logo (A) não satisfaz a condição pedida (os dois sistemas devem ter dimensão 1).

Passo 5

Análise da opção (B), Sistema 1:
\begin{cases} 7x+y+2z=9,\\\\ 9x+6y=7,\\\\ -27x-18y=-21. \end{cases}
Note que a terceira equação é -3 vezes a segunda, pois
-3(9x+6y)=(-27x-18y) \quad\text{e}\quad -3\cdot 7 = -21.
Logo a terceira equação é dependente da segunda. Portanto efetivamente há duas equações independentes (a primeira e a segunda) em três incógnitas. O posto da matriz dos coeficientes é 2, e não há contradição aparente entre primeiras duas equações → sistema compatível → dimensão da solução =3-2=1. Então o Sistema 1 de (B) é uma reta.

Passo 6

Análise da opção (B), Sistema 2:
\begin{cases} -24x-36y-12z=-8,\\\\ -3y-21z=-24,\\\ z=4. \end{cases}
Aqui temos a equação explícita z=4. Substituo na segunda equação:
-3y-21\cdot 4=-24 \Rightarrow -3y-84=-24 \Rightarrow -3y=60 \Rightarrow y=-20.
Substituo y=-20, z=4 na primeira:
-24x-36(-20)-12\cdot 4=-8 \Rightarrow -24x +720 -48 = -8 \Rightarrow -24x +672 = -8 \Rightarrow -24x=-680,
x=\dfrac{680}{24}=\dfrac{85}{3}.
Obteve-se uma solução única (x,y,z)=\left(\dfrac{85}{3},-20,4\right). Isso significa que o conjunto solução é um ponto (dimensão 0), não uma reta. Conclusão: em (B) o Sistema 1 é reta, o Sistema 2 é ponto → (B) não satisfaz.

Passo 7

Análise da opção (C), Sistema 1:
\begin{cases} -28x-4y-8z=-36,\\\\ -27x-18y=-21. \end{cases}
Temos duas equações; os vetores de coeficientes são (-28,-4,-8) e (-27,-18,0). Eles não são múltiplos um do outro (não existe escalar \lambda tal que (-28,-4,-8)=\lambda(-27,-18,0), porque a terceira componente do segundo é 0 enquanto a do primeiro é -8). Então as equações são independentes → posto =2 → se compatível, solução de dimensão 1. Não há contradição imediata, então Sistema 1 em (C) é uma reta.

Passo 8

Análise da opção (C), Sistema 2:
\begin{cases} 30x+45y+15z=10,\\\\ 24x+36y+12z=8. \end{cases}
Verifico proporção: multiplicando a segunda equação por \dfrac{30}{24}=\dfrac{5}{4} obtemos exatamente a primeira (inclusive nos termos independentes: 8\cdot\dfrac{5}{4}=10). Logo as duas equações são dependentes → posto =1 → solução (quando compatível) tem dimensão 3-1=2. Assim o Sistema 2 é um plano, não uma reta. Conclusão: (C) falha.

Passo 9

Análise da opção (D), Sistema 1:
\begin{cases} 6x+9y+3z=2,\\\\ -24x-36y-12z=-8,\\\ y+7z=8. \end{cases}
Primeiro observo que a segunda equação é -4\) vezes a primeira, pois \[-4(6x+9y+3z)=(-24x-36y-12z) \quad\text{e}\quad -4\cdot 2 = -8.
Logo a segunda equação não traz informação nova; as equações independentes restantes são a primeira e a terceira:
6x+9y+3z=2,\qquad y+7z=8.
Essas duas equações são claramente independentes (os vetores de coeficientes (6,9,3) e (0,1,7) não são múltiplos). Portanto o posto da matriz dos coeficientes é 2. Verifico compatibilidade: não há contradição entre elas. Posso parametricamente resolver para confirmar a reta: a partir de y+7z=8 escrevo y=8-7z. Substituo em 6x+9y+3z=2:
6x+9(8-7z)+3z=2 \Rightarrow 6x+72-63z+3z=2 \Rightarrow 6x+72-60z=2,
6x=2-72+60z = -70+60z \Rightarrow x=\dfrac{-70+60z}{6}=\dfrac{-35+30z}{3}.
Escolhendo z como parâmetro t (ou t=z), temos a forma paramétrica da reta:
\begin{cases} x=\dfrac{-35+30t}{3},\\\ y=8-7t,\\\ z=t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
Isto confirma que o conjunto-solucão do Sistema 1 em (D) é uma reta (dimensão (1]).

Passo 10

Análise da opção (D), Sistema 2:
\begin{cases} -18x-27y-9z=-6,\\\\ -32x-4z=-16. \end{cases}
Temos duas equações em três incógnitas. Verifico se são múltiplas: os vetores de coeficientes são (-18,-27,-9) e (-32,0,-4); não é possível obter um do outro por multiplicação escalar (porque a segunda componente do segundo vetor é 0 enquanto a do primeiro é -27). Assim as equações são independentes → posto =2. Não há contradição evidente, então o sistema é compatível e a solução terá dimensão 3-2=1 (uma reta). Podemos também achar a forma paramétrica para confirmar: da segunda equação isolamos z em função de x:
-32x-4z=-16 \Rightarrow -4z= -16 +32x \Rightarrow z=4-8x.
Substituo em primeira equação:
-18x-27y-9(4-8x)=-6 \Rightarrow -18x-27y-36+72x=-6,
54x -27y -36 = -6 \Rightarrow 54x -27y = 30 \Rightarrow 2x - y = \dfrac{30}{27}=\dfrac{10}{9}.
Isolo y: y=2x - \dfrac{10}{9}. Tomando x como parâmetro s, obtemos
\begin{cases} x=s,\\\ y=2s-\dfrac{10}{9},\\\ z=4-8s, \end{cases}\quad s\in\mathbb{R},
que é uma reta. Conclusão: o Sistema 2 em (D) também tem conjunto-solucão uma reta.

Passo 11

Resumo das conclusões parciais:
  • (A): Sistema 1 → reta; Sistema 2 → plano. (falha)
  • (B): Sistema 1 → reta; Sistema 2 → ponto. (falha)
  • (C): Sistema 1 → reta; Sistema 2 → plano. (falha)
  • (D): Sistema 1 → reta; Sistema 2 → reta. (satisfeita)
  • (E): Sistema 1 → ponto; Sistema 2 → reta. (falha)
  • (F): Sistema 1 → plano; Sistema 2 → reta. (falha)
Dessa verificação, apenas a opção (D) tem ambos os sistemas com solução de dimensão 1.

Resposta

(D)

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