O que é pedido: determinar o valor de k (entre as alternativas dadas) para que o sistema tenha solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Há 4 equações e 3 incógnitas (matriz de coeficientes 4\times3).
A consistência do sistema depende da relação entre as linhas da matriz de coeficientes e da coluna de termos independentes (ou seja, na eliminação por linhas aparecerá ou não uma equação contraditória 0= \text{valor não nulo}ã).
As alternativas possíveis para k são 1,2,3,4,5,6,7,8.
Passo 2
Estratégia que vou aplicar (explicando o conceito): usar operações elementares por linhas (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para triangular a matriz aumentada — o procedimento clássico de eliminação de Gauss. A ideia prática: eliminar entradas abaixo do primeiro pivô, depois abaixo do segundo pivô, e assim por diante, até aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid c]. Se nessa linha c\neq0 temos contradição e o sistema é inconsistente; se c=0 a linha é redundante e o sistema pode ser consistente. Vou executar as operações passo a passo e mostrar as contas.
Passo 3
Começo usando a primeira linha R_1=[1\\\ 1\\\ 2\mid -2] para zerar a primeira entrada das linhas 2, 3 e 4.
R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1. Calculando (repare que uso k na coluna dos termos independentes):R_4: [-2,-6,-4\mid k] + 2\cdot[1,1,2\mid -2] = [0,-4,0\mid k-4].
(A ordem das linhas com pivôs nas colunas 2 e 3 não altera a conclusão; o importante é a forma escalonada obtida.)
Passo 5
Interpretação da última linha obtida: a quarta linha é [0\\\ 0\\\ 0\mid k-6], isto é, corresponde à equação
0 = k-6.
Para que essa equação não seja uma contradição deve ocorrer k-6=0, ou seja k=6. Se k\neq6 a última linha dá 0 = número diferente de zero, contradizendo a existência de solução — logo o sistema seria inconsistente.
Portanto a condição necessária e suficiente para o sistema ter solução é
k=6.
Passo 6
Comentário adicional (útil para a prova): quando k=6 a última linha vira 0=0 (linha redundante) e o sistema reduz-se a três equações independentes em três incógnitas — então teremos uma solução única (posto da matriz de coeficientes = número de incógnitas). Posso até resolver rapidamente por substituição para fixar a ideia.
Com k=6, das linhas escalonadas temos:
Da linha R_2=[0\\\ 0\\\ 2\mid -1]: \,2x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = -\tfrac{1}{2}.
Da linha R_3=[0\\\ 2\\\ 0\mid -1]: \,2x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = -\tfrac{1}{2}.
Da primeira linha R_1=[1\\\ 1\\\ 2\mid -2]: \,x_1 + x_2 + 2x_3 = -2. Substituindo x_2=x_3=-\tfrac{1}{2}:x_1 -\tfrac{1}{2} + 2\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big) = -2