Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & -2 \\\\ -2 & 0 & -2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 2 & -3 \\\\ -2 & -6 & -4 & k \end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear com quatro equações e três incógnitas:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & -2 \\\\ -2 & 0 & -2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 2 & -3 \\\\ -2 & -6 & -4 & k \end{array}\right]
O que é pedido: determinar o valor de k (entre as alternativas dadas) para que o sistema tenha solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há 4 equações e 3 incógnitas (matriz de coeficientes 4\times3).
  • A consistência do sistema depende da relação entre as linhas da matriz de coeficientes e da coluna de termos independentes (ou seja, na eliminação por linhas aparecerá ou não uma equação contraditória 0= \text{valor não nulo}ã).
  • As alternativas possíveis para k são 1,2,3,4,5,6,7,8.

Passo 2

Estratégia que vou aplicar (explicando o conceito): usar operações elementares por linhas (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para triangular a matriz aumentada — o procedimento clássico de eliminação de Gauss. A ideia prática: eliminar entradas abaixo do primeiro pivô, depois abaixo do segundo pivô, e assim por diante, até aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid c]. Se nessa linha c\neq0 temos contradição e o sistema é inconsistente; se c=0 a linha é redundante e o sistema pode ser consistente. Vou executar as operações passo a passo e mostrar as contas.

Passo 3

Começo usando a primeira linha R_1=[1\\\ 1\\\ 2\mid -2] para zerar a primeira entrada das linhas 2, 3 e 4.
Faço as operações (mostrando cada cálculo):
  • R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Calculando componente a componente: R_2: [-2,0,-2\mid 2] + 2\cdot[1,1,2\mid -2] = [0,2,2\mid -2].
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Calculando: R_3: [1,3,2\mid -3] - [1,1,2\mid -2] = [0,2,0\mid -1].
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1. Calculando (repare que uso k na coluna dos termos independentes): R_4: [-2,-6,-4\mid k] + 2\cdot[1,1,2\mid -2] = [0,-4,0\mid k-4].
Após essas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 2 & 2 & -2 \\\\ 0 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & -4 & 0 & k-4 \end{array}\right]

Passo 4

Agora trabalho na coluna 2. Uso a terceira linha atual R_3=[0\\\ 2\\\ 0\mid -1] como pivô para zerar a entrada na linha 2 e na linha 4.
  • Eliminar em R_2: R_2 \leftarrow R_2 - R_3. Calculando: R_2: [0,2,2\mid -2] - [0,2,0\mid -1] = [0,0,2\mid -1].
  • Eliminar em R_4: R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3 (porque -4 + 2\cdot 2 = 0). Calculando: R_4: [0,-4,0\mid k-4] + 2\cdot[0,2,0\mid -1] = [0,0,0\mid k-6].
Agora a matriz está assim:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & k-6 \end{array}\right]
(A ordem das linhas com pivôs nas colunas 2 e 3 não altera a conclusão; o importante é a forma escalonada obtida.)

Passo 5

Interpretação da última linha obtida: a quarta linha é [0\\\ 0\\\ 0\mid k-6], isto é, corresponde à equação
0 = k-6.
Para que essa equação não seja uma contradição deve ocorrer k-6=0, ou seja k=6. Se k\neq6 a última linha dá 0 = número diferente de zero, contradizendo a existência de solução — logo o sistema seria inconsistente.
Portanto a condição necessária e suficiente para o sistema ter solução é
k=6.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): quando k=6 a última linha vira 0=0 (linha redundante) e o sistema reduz-se a três equações independentes em três incógnitas — então teremos uma solução única (posto da matriz de coeficientes = número de incógnitas). Posso até resolver rapidamente por substituição para fixar a ideia.
Com k=6, das linhas escalonadas temos:
  • Da linha R_2=[0\\\ 0\\\ 2\mid -1]: \,2x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = -\tfrac{1}{2}.
  • Da linha R_3=[0\\\ 2\\\ 0\mid -1]: \,2x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = -\tfrac{1}{2}.
  • Da primeira linha R_1=[1\\\ 1\\\ 2\mid -2]: \,x_1 + x_2 + 2x_3 = -2. Substituindo x_2=x_3=-\tfrac{1}{2}: x_1 -\tfrac{1}{2} + 2\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big) = -2
x_1 -\tfrac{1}{2} -1 = -2 \quad\Rightarrow\quad x_1 -\tfrac{3}{2} = -2
x_1 = -2 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{1}{2}.
Logo a solução (única) é x_1=x_2=x_3=-\tfrac{1}{2} quando k=6.

Resposta

(F) 6

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