O conjunto
\left{1, x, x^{2}\right}
é linearmente independente em
\left(-\infty, \infty\right)
?
\left{1, x, x^{2}\right}
é linearmente independente em
\left(-\infty, \infty\right)
?
Passo 1
Estamos no espaço vetorial de funções reais contínuas em
e queremos verificar se o conjunto de monômios
é linearmente independente, isto é, se a única combinação linear que dá a função zero é a combinação trivial.
Passo 2
Pela definição, suponha que existam constantes
tais que, para todo
, valha
Isso significa que o polinômio
é identicamente nulo em todo o domínio real.
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (ou pela unicidade de polinômios), um polinômio que é zero para infinitos valores de
só pode ser o polinômio nulo, logo seus coeficientes devem ser todos zero:
Passo 4
Como a única solução da combinação linear que produz a função zero é
, concluímos que não há nenhuma relação de dependência não trivial entre
,
e
.
Resposta
Sim, o conjunto
é linearmente independente em
.