O conjunto
\left{1, x, x^{2}\right}
é linearmente independente em
\left(-\infty, \infty\right)
?

Passo 1

Estamos no espaço vetorial de funções reais contínuas em (-infty,infty) e queremos verificar se o conjunto de monômios 1,x,x^2 é linearmente independente, isto é, se a única combinação linear que dá a função zero é a combinação trivial.

Passo 2

Pela definição, suponha que existam constantes alpha,beta,gammainR tais que, para todo xin(-infty,infty), valha
alphacdot1 + beta,x + gamma,x^2 = 0
Isso significa que o polinômio
P(x)=alpha + beta x + gamma x^2
é identicamente nulo em todo o domínio real.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (ou pela unicidade de polinômios), um polinômio que é zero para infinitos valores de x só pode ser o polinômio nulo, logo seus coeficientes devem ser todos zero:
alpha=0, beta=0, gamma=0

Passo 4

Como a única solução da combinação linear que produz a função zero é alpha=beta=gamma=0, concluímos que não há nenhuma relação de dependência não trivial entre 1, x e x^2.

Resposta

Sim, o conjunto 1,x,x^2 é linearmente independente em (-infty,infty).

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