Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares:
integral-1^0 integral-raiz1-x^2^0 4 cos (x^2+y^2) d y d x
Resposta: pi sin 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral dupla, que é tipo uma forma de somar valores sobre uma região no plano. O enunciado sugere que a gente converta para coordenadas polares. Então, a matéria aqui é cálculo de integrais duplas e coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração nessa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de x vão de -1 a 0 e, para cada x, y varia de -raiz1 - x^2 até 0. Isso descreve uma parte de um círculo com raio 1 no segundo quadrante.

Passo 3

Agora, vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que x = r cos theta e y = r sin theta, e que a área diferencial dx,dy se transforma em r,dr,dtheta em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos identificar os novos limites de integração. Como estamos no segundo quadrante e o raio vai de 0 a 1:
  • theta varia de pi2 (90 graus) a pi (180 graus).
  • r varia de 0 a 1.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original. A função x^2 + y^2 em polares fica r^2, então a integral fica:
integralpi2^pi integral0^1 4 cos(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^1 4r cos(r^2) , dr
Aqui, usamos a substituição u = r^2, então du = 2r , dr, ou seja, 2r , dr = du. Assim, a integral fica:
4 cdot 12 integral0^1 cos(u) , du = 2 integral0^1 cos(u) , du
A integral de cos(u) é sin(u), então temos:
2 [sin(1) - sin(0)] = 2 sin(1)

Passo 7

Agora, integramos com relação a theta:
integralpi2^pi 2 sin(1) , dtheta = 2 sin(1) cdot ( pi - pi2 ) = 2 sin(1) cdot pi2 = pi sin(1)

Resposta

pi sin 1

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