Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral dupla, que é tipo uma forma de somar valores sobre uma região no plano. O enunciado sugere que a gente converta para coordenadas polares. Então, a matéria aqui é cálculo de integrais duplas e coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração nessa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de
vão de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Isso descreve uma parte de um círculo com raio 1 no segundo quadrante.
Passo 3
Agora, vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que
e
, e que a área diferencial
se transforma em
em coordenadas polares.
Passo 4
Vamos identificar os novos limites de integração. Como estamos no segundo quadrante e o raio vai de
a
:
-
varia de (90 graus) a (180 graus). -
varia de a .
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original. A função
em polares fica
, então a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui, usamos a substituição
, então
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
A integral de
é
, então temos:
Passo 7
Agora, integramos com relação a
: