Um conjunto de n massas está suspenso de modo a permanecer na mesma horizontal e sem entrar em contanto uma com a outra. A primeira massa é f m0, a segunda f^2 m0, a terceira f^3 m0 e assim até a última, que é f^n m0. Sobre a primeira massa, incide uma partícula de massa m0 que se move com velocidade horizontal de módulo v0. Esta produz uma sucessão de choques ao longo da linha de massas. Considerando que todos os choques sejam perfeitamente elásticos, mostre que a última massa sai com velocidade igual
vn=(21+f)^n v0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula de massa que bate, com velocidade inicial , numa cadeia de massas fixas em repouso: a primeira é , a segunda , até a última . Os choques são perfeitamente elásticos, isto é, conservam momento e energia cinética.
Conteúdo: choque elástico unidimensional, conservação de momento e energia, e fórmula da velocidade transmitida à massa parada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral: quando uma massa m,u = m,v!m + M,v!M com velocidade tfrac12 m,u^2 = tfrac12 m,v!m^2 + tfrac12 M,v!M^2 colide elasticamente com massa v!M ;=;2,mm+M;u em repouso, as equações são
  1. conservação do momento:
  1. conservação da energia cinética:
Resolvendo essas duas para a velocidade da massa após o choque, chega-se a

Passo 3

Agora, na primeira colisão:
  • a “bala” tem v1 ;=;2,m0m0 + f,m0;v0 ;=;21+f;v0 e velocidade ,
  • a primeira massa é em repouso.
    Logo, a velocidade que essa massa adquire é

Passo 4

Essa massa m = f,m0, M = f^2m0, u=v1 , agora com v2 = 2,(f,m0)f,m0 + f^2m0;v1 = 21+f;v1 , vai bater na próxima, que é v2 = l(21+fr)^2 v0 . Aplicando de novo:
Mas a gente já viu que , então

Passo 5

Seguindo esse esquema para cada uma das vn = l(21+fr)^n v0 colisões, a cada etapa a velocidade ganha um fator . Por indução, depois da -ésima colisão chega-se a

Resposta

boxedvn=l(tfrac21+fr)^n,v0

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