Um conjunto de n massas está suspenso de modo a permanecer na mesma horizontal e sem entrar em contanto uma com a outra. A primeira massa é f m0, a segunda f^2 m0, a terceira f^3 m0 e assim até a última, que é f^n m0. Sobre a primeira massa, incide uma partícula de massa m0 que se move com velocidade horizontal de módulo v0. Esta produz uma sucessão de choques ao longo da linha de massas. Mostre que se f=1 toda a energia é transferida para a última massa.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma sequência de n massas penduradas, cada uma com massa
m1 = f,m0, m2 = f^2,m0,;dots,; mn = f^n,m0
e uma partícula inicial de massa m0 que chega com velocidade v0 e bate elasticamente na primeira. Nosso objetivo é mostrar que, se f=1, toda a energia cinética acaba na última massa.
Conteúdo: colisões elásticas unidimensionais (conservação de momento e energia).

Passo 2

Quando duas partículas de massas m (que chega com velocidade v) e M (inicialmente em repouso) colidem elasticamente, vale:
  1. conservação do momento:
m,v = m,v'+M,V'
2) conservação da energia cinética:
tfrac12 m,v^2 = tfrac12 m,v'^2 + tfrac12 M,V'^2
Resolvendo esse sistema a gente encontra as velocidades depois do choque:
v' = m - Mm + M;v, V' = 2,mm + M;v
Aqui v' é a velocidade da massa m depois e V' é a da massa M.

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa cadeia, note que na primeira colisão m=m0 e M=m1=f,m0. Então
V'1 = 2,m0m0 + f,m0;v0 = 21+f;v0,, v'1 = 1 - f1 + f;v0
A massa m0 inicial sai com v'1 e a primeira massa fica com V'1. Em seguida, essa primeira massa (agora com velocidade V'1) colide com a segunda, e assim por diante. Se você repetir esse raciocínio para cada etapa, vai ver que a velocidade transmitida de uma para outra acumula fatores 21+f etc.

Passo 4

No caso especial f=1, as massas são todas iguais ( m1=m2=cdots=mn=m0). Então em cada choque
V' = 2,m0m0 + m0;v = v, v' = m0 - m02,m0;v = 0
Ou seja: a partícula que bate para completamente ( v'=0) e transfere 100% de sua velocidade v para a próxima. Como isso se repete em cada um dos n choques, a última massa sai com
vn = v0
e todas as anteriores param.

Resposta

Se f=1, toda a energia cinética inicial tfrac12 m0 v0^2 é transferida, passo a passo, até a última massa, que fica com velocidade v0,.

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