1. Um conjunto motor-diesel-gerador (GMG) tem gerador síncrono trifásico, ligação em estrela, potência \mathbf{3 0 0 k V A} / \mathbf{2 2 0 V} / \mathbf{1 2 7 V} / \mathbf{6 0 H z}, \mathbf{F P}=\mathbf{0 , 8 0}, 4 polos e rendimento de \mathbf{7 8 \%} será utilizado em regime contínuo para alimentar as seguintes cargas: \mathrm{C} 1=100 \mathrm{kVA} / \mathrm{FP}=0,85 \mathrm{i} / 220 \mathrm{~V}-trif; \mathrm{C} 2=65 \mathrm{~kW} / \mathrm{FP}=0,75 \mathrm{i} / 220 \mathrm{~V} / trif; \mathrm{C} 3=80 \mathrm{kW} / \mathrm{FP}=0.88 \mathrm{i} / 220 \mathrm{~V} / trif. Pede-se:
b) Potência e torque da máquina primária (kW);

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do conjunto:
    • Potência aparente do gerador: 300\\ \text{kVA}.
    • Tensões indicadas: 220\\ \text{V} e 127\\ \text{V} (ligação trifásica em estrela).
    • Frequência: 60\\ \text{Hz}.
    • Fator de potência nominal do gerador: F.P.=0{,}80.
    • Número de polos: 4.
    • Rendimento do conjunto (eficiência): \eta = 78\% = 0{,}78.
  • Cargas a alimentar (todas trifásicas, tensão 220\\ \text{V}):
    • C1: S_1 = 100\\ \text{kVA}, PF_1 = 0{,}85.
    • C2: P_2 = 65\\ \text{kW}, PF_2 = 0{,}75. (já foi dada a potência ativa)
    • C3: P_3 = 80\\ \text{kW}, PF_3 = 0{,}88. (já foi dada a potência ativa)
  • O que o item (b) pede:
    • Determinar a potência da máquina primária (motor diesel) em \text{kW}.
    • Determinar o torque fornecido pela máquina primária (em \text{N}\cdot\text{m}).

Passo 2

Estratégia de resolução (passo a passo que será seguido) — explicação das fórmulas que serão usadas:
  1. Primeiro obter a potência ativa total entregue pelo gerador, somando as potências ativas de cada carga. Para a carga com potência aparente conhecida, converte-se para potência ativa usando:
P = S\cdot PF,
onde P é a potência ativa (em \text{kW} se S estiver em \text{kVA}), S é a potência aparente e PF é o fator de potência (adimensional).
  1. Com a potência ativa total elétrica na saída do gerador P_{\text{el}} (em \text{kW}), a potência mecânica que o motor diesel precisa fornecer é maior por causa das perdas; relaciona-se por:
\eta = \frac{P_{\text{el}}}{P_{\text{mec}}},
onde \eta é o rendimento (adimensional). Então:
P_{\text{mec}} = \frac{P_{\text{el}}}{\eta}.
Aqui P_{\text{mec}} é a potência da máquina primária que procuramos.
  1. Para obter o torque T no eixo do gerador (assumindo que o motor gira em sincronia com o gerador), usa-se a relação entre potência mecânica, torque e velocidade angular:
P_{\text{mec}} = T\cdot \omega,
onde \omega é a velocidade angular em \text{rad/s}. Assim:
T = \frac{P_{\text{mec}}}{\omega}.
  1. A velocidade angular \omega relaciona-se com a rotação n em \text{rpm} por:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}.
  1. A rotação síncrona do gerador n_s (em \text{rpm}) depende da frequência e do número de polos:
n_s=\frac{120\,f}{p},
onde f é a frequência (em \text{Hz}) e p é o número de polos.
Vou aplicar estas fórmulas passo a passo, explicando o que é cada variável enquanto calculo.

Passo 3

Calcular as potências ativas de cada carga (mostrar contas detalhadas).
  • Para a carga C1: S_1=100\\ \text{kVA} e PF_1=0{,}85. Então a potência ativa é
P_1 = S_1\cdot PF_1 = 100\cdot 0{,}85 = 85\\ \text{kW}.
(Explicação curta: potência aparente S tem parte ativa P e reativa Q. Multiplicando S pelo fator de potência obtém-se a parte ativa.)
  • Para a carga C2 foi dada a potência ativa diretamente:
P_2 = 65\\ \text{kW}.
  • Para a carga C3 foi dada a potência ativa diretamente:
P_3 = 80\\ \text{kW}.
  • Potência ativa total demandada na saída do gerador:
P_{\text{el}} = P_1 + P_2 + P_3 = 85 + 65 + 80 = 230\\ \text{kW}.

Passo 4

Calcular a potência mecânica que a máquina primária (motor diesel) precisa fornecer, usando o rendimento \eta = 0{,}78.
  • Fórmula usada (definição de rendimento):
P_{\text{mec}} = \frac{P_{\text{el}}}{\eta}.
  • Substituindo:
P_{\text{mec}} = \frac{230}{0{,}78}.
  • Cálculo:
P_{\text{mec}} = 294{,}8717948717949\\ \text{kW}\\ (\text{valor exato mostrado}).
  • Para fins práticos, arredonda-se com duas casas decimais:
P_{\text{mec}} \approx 294{,}87\\ \text{kW}.
(Comentário amigável: isso significa que, para entregar 230\\ \text{kW} elétricos às cargas, o motor precisa entregar cerca de 295\\ \text{kW} mecânicos ao eixo, devido às perdas do conjunto.)

Passo 5

Calcular a rotação síncrona do gerador n_s (em \text{rpm}) a partir da frequência e do número de polos.
  • Fórmula:
n_s = \frac{120\,f}{p}.
  • Substituindo f=60\\ \text{Hz} e p=4:
n_s = \frac{120\cdot 60}{4} = \frac{7200}{4} = 1800\\ \text{rpm}.
(Explicação: geradores síncronos têm rotação fixa pela relação entre polos e frequência; com 4 polos em 60\\ \text{Hz} a rotação síncrona é 1800\\ \text{rpm}.)

Passo 6

Calcular a velocidade angular \omega correspondente a n_s=1800\\ \text{rpm}.
  • Fórmula:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}.
  • Substituindo n=1800:
\omega = 2\pi\frac{1800}{60} = 2\pi\cdot 30 = 60\pi\\ \text{rad/s}.
  • Valor numérico aproximado:
\omega \approx 188{,}4955592153876\\ \text{rad/s}.

Passo 7

Calcular o torque T no eixo a partir de P_{\text{mec}} e \omega.
  • Usar P_{\text{mec}} em \text{W}. Converter P_{\text{mec}} de \text{kW} para \text{W}:
P_{\text{mec}} = 294{,}8717948717949\\ \text{kW} = 294871{,}7948717949\\ \text{W}.
  • Fórmula para o torque:
T = \frac{P_{\text{mec}}}{\omega}.
  • Substituindo os valores:
T = \frac{294871{,}7948717949}{188{,}4955592153876}\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Cálculo numérico:
T \approx 1564{,}028\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Arredondando com duas casas decimais:
T \approx 1564{,}03\\ \text{N}\cdot\text{m}.
(Interpretação curta: esse é o torque que o motor diesel precisa fornecer de forma contínua para garantir a potência mecânica calculada à rotação síncrona.)

Passo 8

Resumo final dos resultados (valores práticos, arredondados para duas casas decimais):
  • Potência da máquina primária (motor diesel), P_{\text{primária}} \approx 294{,}87\\ \text{kW}á.
  • Torque no eixo da máquina primária, T \approx 1564{,}03\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Resposta

P_{\text{primária}} = 294{,}87\\ \text{kW}á
T = 1564{,}03\\ \text{N}\cdot\text{m}

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