No conjunto dos Números Reais IR, qual das seguintes afirmações sobre números irracionais é verdadeira?
◯
◯ a. Números irracionais podem ser expressos como uma razão de dois inteiros.
◯ b. A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional
◯ c. O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais
d. Todo número irracional é uma raiz quadrada de um número primo.
◯
◯ a. Números irracionais podem ser expressos como uma razão de dois inteiros.
◯ b. A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional
◯ c. O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais
d. Todo número irracional é uma raiz quadrada de um número primo.
Passo 1
O enunciado pergunta: no conjunto dos números reais
, qual das afirmações sobre números irracionais é verdadeira? As alternativas dadas são:
a. Números irracionais podem ser expressos como uma razão de dois inteiros.
b. A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c. O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais.
d. Todo número irracional é uma raiz quadrada de um número primo.
b. A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c. O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais.
d. Todo número irracional é uma raiz quadrada de um número primo.
Vou trabalhar cada alternativa e explicar certinho por que é verdadeira ou falsa, com exemplos e pequenas demonstrações fáceis de entender.
Passo 2
Primeiro, vamos fixar definições bem claras (essas são as ferramentas básicas que vamos usar):
- Definição de número racional: um número
é racional se e somente se existe inteiros e com tais que
Exemplos:
,
,
.
- Definição de número irracional: um número é irracional se é um número real que não é racional. Em símbolos, o conjunto dos irracionais é
onde
é o conjunto dos racionais. Exemplos clássicos de irracionais:
,
,
.
- Definição de subconjunto: um conjunto
é subconjunto de (escreve-se ) se todo elemento de também pertence a .
Com isso, vamos analisar cada alternativa com calma.
Passo 3
Análise da alternativa a.
A afirmação diz que “Números irracionais podem ser expressos como uma razão de dois inteiros.” Mas a forma “razão de dois inteiros” é exatamente a definição de número racional. Logo, se um número pode ser escrito como
com
e
, então esse número é racional, não irracional. Portanto a alternativa a é falsa.
Exemplo/intuição:
é irracional — não existe
que o represente. (Há uma prova clássica por contradição; não preciso reescrever a prova inteira aqui, o importante é entender que se pode escrever como
então não é irracional.)
Passo 4
Análise da alternativa b.
A afirmação diz que “A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.” A palavra-chave é “sempre”: para a afirmação ser verdadeira, toda soma de dois irracionais teria de ser irracional. Mas isso é falso: basta um contraexemplo.
Contraexemplo simples:
mas
e
é racional. Logo a soma de dois irracionais pode ser racional; portanto a afirmação “sempre” é falsa.
Observação extra (útil para a prova): a soma de dois irracionais pode também ser irracional. Por exemplo,
e
é irracional porque, se fosse racional, dividir por
daria
racional (contradição). Assim, soma de irracionais às vezes é racional e às vezes irracional — não há regra “sempre”.
Passo 5
Análise da alternativa c.
A afirmação diz que “O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais.” Pela própria definição de irracional (número real que não é racional), todo número irracional pertence a
. Em notação:
Isto é verdade por definição: os irracionais são exatamente os elementos dos reais que não estão em
. Portanto a alternativa c é verdadeira.
É uma afirmação simples e fundamental — nada complicado aqui: irracionais são tipos especiais de números reais.
Passo 6
Análise da alternativa d.
A afirmação diz que “Todo número irracional é uma raiz quadrada de um número primo.” Essa afirmação é muito forte e falsa. Contraexemplos:
-
é irracional e certamente não é para nenhum primo . Logo já basta para mostrar que a afirmação é falsa. -
Outro exemplo:
é irracional (porque não é quadrado perfeito), mas não é primo. Então é irracional e não é raiz quadrada de um primo. Mais um motivo para a afirmação ser falsa.
Portanto d é falsa.
Passo 7
Conclusão: apenas a alternativa c é verdadeira; as alternativas a, b e d são falsas (a e d por contradição com as definições/contraexemplos, b por contraexemplo).
Força aí — questão rápida de definição e contraexemplos, ótimo para ganhar pontos.
Resposta
(c)