No conjunto dos Números Reais IR, qual das seguintes afirmações sobre números irracionais é verdadeira?

◯ a. Números irracionais podem ser expressos como uma razão de dois inteiros.
◯ b. A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional
◯ c. O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais
d. Todo número irracional é uma raiz quadrada de um número primo.

Passo 1

O enunciado pergunta: no conjunto dos números reais \mathbb{R}, qual das afirmações sobre números irracionais é verdadeira? As alternativas dadas são:
a. Números irracionais podem ser expressos como uma razão de dois inteiros.
b. A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c. O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais.
d. Todo número irracional é uma raiz quadrada de um número primo.
Vou trabalhar cada alternativa e explicar certinho por que é verdadeira ou falsa, com exemplos e pequenas demonstrações fáceis de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos fixar definições bem claras (essas são as ferramentas básicas que vamos usar):
  • Definição de número racional: um número q é racional se e somente se existe inteiros m e n com n\neq0 tais que
q=\frac{m}{n}.
Exemplos: \frac{3}{4}, -2=\frac{-2}{1}, 0=\frac{0}{1}.
  • Definição de número irracional: um número é irracional se é um número real que não é racional. Em símbolos, o conjunto dos irracionais é
\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
onde \mathbb{Q} é o conjunto dos racionais. Exemplos clássicos de irracionais: \sqrt{2}, \pi, e.
  • Definição de subconjunto: um conjunto A é subconjunto de B (escreve-se A\subseteq B) se todo elemento de A também pertence a B.
Com isso, vamos analisar cada alternativa com calma.

Passo 3

Análise da alternativa a.
A afirmação diz que “Números irracionais podem ser expressos como uma razão de dois inteiros.” Mas a forma “razão de dois inteiros” é exatamente a definição de número racional. Logo, se um número pode ser escrito como \dfrac{m}{n} com m,n\in\mathbb{Z} e n\neq0, então esse número é racional, não irracional. Portanto a alternativa a é falsa.
Exemplo/intuição: \sqrt{2} é irracional — não existe \dfrac{m}{n} que o represente. (Há uma prova clássica por contradição; não preciso reescrever a prova inteira aqui, o importante é entender que se pode escrever como \dfrac{m}{n} então não é irracional.)

Passo 4

Análise da alternativa b.
A afirmação diz que “A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.” A palavra-chave é “sempre”: para a afirmação ser verdadeira, toda soma de dois irracionais teria de ser irracional. Mas isso é falso: basta um contraexemplo.
Contraexemplo simples:
\sqrt{2}\\ \text{é irracional e}\\\ -\sqrt{2}\\ \text{é irracional,}éé
mas
\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0,
e 0 é racional. Logo a soma de dois irracionais pode ser racional; portanto a afirmação “sempre” é falsa.
Observação extra (útil para a prova): a soma de dois irracionais pode também ser irracional. Por exemplo,
\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2},
e 2\sqrt{2} é irracional porque, se fosse racional, dividir por 2 daria \sqrt{2} racional (contradição). Assim, soma de irracionais às vezes é racional e às vezes irracional — não há regra “sempre”.

Passo 5

Análise da alternativa c.
A afirmação diz que “O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais.” Pela própria definição de irracional (número real que não é racional), todo número irracional pertence a \mathbb{R}. Em notação:
\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}.
Isto é verdade por definição: os irracionais são exatamente os elementos dos reais que não estão em \mathbb{Q}. Portanto a alternativa c é verdadeira.
É uma afirmação simples e fundamental — nada complicado aqui: irracionais são tipos especiais de números reais.

Passo 6

Análise da alternativa d.
A afirmação diz que “Todo número irracional é uma raiz quadrada de um número primo.” Essa afirmação é muito forte e falsa. Contraexemplos:
  • \pi é irracional e certamente não é \sqrt{p} para nenhum primo p. Logo já basta para mostrar que a afirmação é falsa.
  • Outro exemplo: \sqrt{8} é irracional (porque 8 não é quadrado perfeito), mas 8 não é primo. Então \sqrt{8} é irracional e não é raiz quadrada de um primo. Mais um motivo para a afirmação ser falsa.
Portanto d é falsa.

Passo 7

Conclusão: apenas a alternativa c é verdadeira; as alternativas a, b e d são falsas (a e d por contradição com as definições/contraexemplos, b por contraexemplo).
Força aí — questão rápida de definição e contraexemplos, ótimo para ganhar pontos.

Resposta

(c)

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