Considere as funções
e
. Determine os valores de
para os quais
.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
ou
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede os valores de
tais que
. Informações fornecidas:
-
. -
. - Pergunta: encontrar todos os
que satisfazem .
Passo 2
Vamos entender o que significa
Isto é,
até
. No nosso caso
, então
é a distância entre
e
. A desigualdade
pede todos os pontos
cuja distância até
é menor que
.]
Passo 3
Há uma propriedade muito útil para desigualdades com valor absoluto: se
então
Aplicando com
e
, obtemos a equivalência
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade composta
. Somando
a todas as três partes (operações válidas em desigualdades compostas),
ou seja
Como a desigualdade original é estrita (
), os extremos
e
não pertencem à solução.
Passo 5
Vamos checar com exemplos para sentir segurança:
- Para
: (vale). - Para
: (não vale, porque queremos estrito). - Para
: (não vale). - Para
: (vale).
Esses testes confirmam que a solução é exatamente osentre e .
Passo 6
Alternativa (opcional, para aprender outro jeito): resolver por casos usando a definição por partes.
- Se
, então e a desigualdade vira . Combinando e dá . - Se
, então e a desigualdade vira . Combinando e dá .
Unindo os dois casos:ou , o que é igual a . Mesma resposta, só outra visão.
Resposta
(a)