Considere as funções f(x)=|x-1| e g(x)=2. Determine os valores de x para os quais f(x)<g(x).
◯ a. -1<x<3
◯ b. 1<x<2
◯ c. x<3
◯ d. x<-1 ou x>3

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede os valores de x tais que f(x)<g(x). Informações fornecidas:
  • f(x)=|x-1|.
  • g(x)=2.
  • Pergunta: encontrar todos os x que satisfazem |x-1|<2.

Passo 2

Vamos entender o que significa |x-1|<2\). Primeiro, o significado da barra de valor absoluto: para qualquer número real \(u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Isto é, |u|\] mede a distância de \(u até 0. No nosso caso u=x-1, então |x-1| é a distância entre x e 1. A desigualdade |x-1|<2 pede todos os pontos x cuja distância até 1 é menor que 2.]

Passo 3

Há uma propriedade muito útil para desigualdades com valor absoluto: se a>0 então
|u|<a \quad\Longleftrightarrow\quad -a<u<a.
Aplicando com u=x-1 e a=2, obtemos a equivalência
|x-1|<2 \quad\Longleftrightarrow\quad -2<x-1<2.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade composta -2<x-1<2. Somando 1 a todas as três partes (operações válidas em desigualdades compostas),
-2+1 < x-1+1 < 2+1,
ou seja
-1 < x < 3.
Como a desigualdade original é estrita ( <), os extremos -1 e 3 não pertencem à solução.

Passo 5

Vamos checar com exemplos para sentir segurança:
  • Para x=0: |0-1|=1<2 (vale).
  • Para x=-1: |-1-1|=2 (não vale, porque queremos estrito).
  • Para x=3: |3-1|=2 (não vale).
  • Para x=2: |2-1|=1<2 (vale).
    Esses testes confirmam que a solução é exatamente os x entre -1 e 3.

Passo 6

Alternativa (opcional, para aprender outro jeito): resolver por casos usando a definição por partes.
  • Se x\ge 1, então |x-1|=x-1 e a desigualdade vira x-1<2\Rightarrow x<3. Combinando x\ge1 e x<3 1\le x<3.
  • Se x<1, então |x-1|=1-x e a desigualdade vira 1-x<2\Rightarrow -x<1\Rightarrow x>-1. Combinando x>-1 e x<1 -1<x<1.
    Unindo os dois casos: -1<x<1 ou 1\le x<3, o que é igual a -1<x<3. Mesma resposta, só outra visão.

Resposta

(a) -1<x<3

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