Use o Teorema de Stokes para calcular integralc r^prime cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima:
F(x, y, z)=e^-x imath+e^x jmath+e^z k, C é a fronteira da parte do plano 2 x+y+2 z=2 no primeiro octante. Resp: 2 e-4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha . Aqui, é a borda da parte do plano no primeiro octante, e está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. O campo vetorial dado é . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e parametrizar a superfície delimitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS com a integral da superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular o rotacional de e integrar sobre a superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) imath + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) jmath + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k . O rotacional de um campo vetorial partial Rpartial y = 0, partial Qpartial z = 0 é dado por:
partial Ppartial z = 0, partial Rpartial x = 0
No nosso caso, partial Qpartial x = e^x, partial Ppartial y = 0 , nabla times F = (0 - 0) imath + (0 - 0) jmath + (e^x - 0) k = e^x k , e . Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o rotacional fica:

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície z = 2 - 2x - y2 que está delimitada pela curva r(x, y) = x imath + y jmath + 2 - 2x - y2 k . A equação do plano é . No primeiro octante, , e são positivos ou zero. Podemos resolver para :
Vamos escolher e como parâmetros, ent��o a parametrização da superfície é:

Passo 5

Para calcular a integral de superfície rx = partial rpartial x = imath - k , precisamos encontrar o vetor normal ry = partial rpartial y = jmath - 12 k à superfície. Primeiro, encontramos os vetores tangentes:
n = rx times ry = imath & jmath & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -12 = (0 cdot -12 - (-1) cdot 1) imath - (1 cdot -12 - (-1) cdot 0) jmath + (1 cdot 1 - 0 cdot 0) k
n = (0.5) imath + (0.5) jmath + (1) k
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a orientação de é anti-horário visto de cima, o vetor normal deve apontar para cima, o que já está garantido.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD e^x k cdot (0.5 imath + 0.5 jmath + 1 k) , dA = integral duplaD e^x cdot 1 , dA = integral duplaD e^x , dA
Onde é a projeção de no plano .

Passo 7

Vamos determinar os limites de integração para 2x + y = 2 implies y = 2 - 2x . No plano 0 <= x <= 1 , quando 0 <= y <= 2 - 2x , a equação do plano fica:
Então, varia de a e, para cada , varia de a .
Portanto, os limites são:

Passo 8

Agora, vamos integrar:
integral duplaD e^x , dA = integral0^1 integral0^2 - 2x e^x , dy , dx
Primeiro, integraremos em relação a integral0^2 - 2x e^x , dy = e^x cdot y |0^2 - 2x = e^x (2 - 2x) :
integral0^1 e^x (2 - 2x) , dx = 2 integral0^1 e^x , dx - 2 integral0^1 x e^x , dx
Agora, precisamos integrar isso em relação a :

Passo 9

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro:
2 integral0^1 e^x , dx = 2 (e^x) |0^1 = 2 (e - 1)
Segundo, para u = x implies du = dx , usamos integração por partes:
dv = e^x dx implies v = e^x
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C
integral0^1 x e^x dx = [x e^x - e^x]0^1 = (1 cdot e - e) - (0 - 1) = (e - e) - (-1) = 1
Aplicando os limites:
-2 integral0^1 x e^x , dx = -2 cdot 1 = -2
Portanto:

Passo 10

Juntando as duas partes:
2 (e - 1) - 2 = 2e - 2 - 2 = 2e - 4

Resposta

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