Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima: é a fronteira da parte do plano no primeiro octante. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha . Aqui, é a borda da parte do plano no primeiro octante, e está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. O campo vetorial dado é . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e parametrizar a superfície delimitada por .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral da superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, podemos calcular o rotacional de e integrar sobre a superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, , , e . Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o rotacional fica:
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície que está delimitada pela curva . A equação do plano é . No primeiro octante, , e são positivos ou zero. Podemos resolver para :
Vamos escolher e como parâmetros, ent��o a parametrização da superfície é:
Passo 5
Para calcular a integral de superfície , precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Primeiro, encontramos os vetores tangentes:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a orientação de é anti-horário visto de cima, o vetor normal deve apontar para cima, o que já está garantido.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD e^x k cdot (0.5 imath + 0.5 jmath + 1 k) , dA = integral duplaD e^x cdot 1 , dA = integral duplaD e^x , dA
Onde é a projeção de no plano .
Passo 7
Vamos determinar os limites de integração para 2x + y = 2 implies y = 2 - 2x . No plano 0 <= x <= 1 , quando 0 <= y <= 2 - 2x , a equação do plano fica:
Então, varia de a e, para cada , varia de a .
Portanto, os limites são:
Passo 8
Agora, vamos integrar:
integral duplaD e^x , dA = integral0^1 integral0^2 - 2x e^x , dy , dx
Primeiro, integraremos em relação a integral0^2 - 2x e^x , dy = e^x cdot y |0^2 - 2x = e^x (2 - 2x) :