Use o método de separação de variáveis para mostrar que a solução para o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
é dada por
u(r, theta)=a02 log r-log R2log R1-log R2+sumn=1^infty R1^nr^n R2^2 n-r^2 nR2^2 n-R1^2 n(an cos n theta+bn sen n theta),
com
an & =1pi integral0^2 pi f1(theta) cos n theta d theta, bn & =1pi integral0^2 pi f1(theta) sen n theta d theta, n >= 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nosso objetivo é resolver um problema de Dirichlet para a equação de Laplace em um anel usando o método de separação de variáveis. A equação de Laplace descreve fenômenos como a distribuição de calor ou o potencial eletrostático em uma região sem fontes. Para resolver, vamos precisar dividir a solução em partes que dependem apenas de $ r $ e apenas de $ \theta $, resolvendo cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação de Laplace no sistema de coordenadas polares:
urr + 1rur + 1r^2uthetatheta = 0
Aqui, $ u_{rr} $ e $ u_{\theta\theta} $ são as segundas derivadas de $ u $ em relação a $ r $ e $ \theta $, respectivamente.
Passo 3
Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de $ r $ e outra que depende só de $ \theta $:
r
Passo 4
Substituímos $ u(r, \theta) = R®\Theta(\theta) $ na equação de Laplace:
u(r, theta) = R(r)Theta(theta)
Passo 5
Dividimos toda a equação por $ R®\Theta(\theta) $:
R(r)Theta(theta)
Agora, rearranjamos para isolar os termos que dependem de $ r $ e $ \theta $:
Esta é uma equação diferencial harmônica cuja solução geral é:
Theta''(theta) + lambda Theta(theta) = 0
onde $ n $ é um número inteiro e $ \lambda = n^2 $.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para $ R® $:
R(r)
Esta é a equação de Euler-Cauchy, cuja solução geral é:
r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0
Passo 8
Juntando as soluções de $ R® $ e $ \Theta(\theta) $, temos a solução geral da equação de Laplace:
R(r)
Passo 9
Aplicamos as condições de contorno dadas:
$ u(R_1, \theta) = f_1(\theta) $
$ u(R_2, \theta) = 0 $
Usamos a expansão em série de Fourier para representar $ f_1(\theta) $:
u(R1, theta) = f1(theta)
onde os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ são dados por:
u(R2, theta) = 0
f1(theta)
Passo 10
Aplicando as condições de contorno, resolvemos para os coeficientes $ C $ e $ D $ de cada termo na série. Após alguma manipulação algébrica, obtemos a solução completa:
C
Resposta
A solução para o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no anel é dada por