O conjunto de pontos onde a função, t in R ; t neq 2 k pi, k in Z, é contínua, é dado por:
a) t in R ; t neq 0.
b) t in R ; t >= 0.
c) t in R ; t <= 0.
d)
e) .

Passo 1

O enunciado pede o domínio de continuidade da função vetorial h(t)= t sin(1/t) i + cos(t) j + (e{t2} – (10 t^5 + 6 t^2)/∛t) k. O conteúdo aqui é análise de continuidade de funções elementares e operações com vetores; vamos precisar determinar o domínio em que cada componente está bem definida e é contínua.

Passo 2

A primeira componente é f(t)= t sin(1/t). Sabemos que sin(1/t) só está definida para t≠0. Como é produto de funções contínuas em t≠0, f é contínua em ℝ{0}.

Passo 3

A segunda componente é g(t)= cos(t), que é contínua em todo ℝ, pois as funções trigonométricas são contínuas para todo t real.

Passo 4

A terceira componente é h_3(t)= e{t2} – (10 t^5 + 6 t^2)/∛t. O termo e{t2} é contínuo em todo ℝ. Para o quociente, usamos ∛t que é definido para todo t real, mas em t=0 o denominador é zero, deixando o quociente indefinido. Logo h_3 é contínua em ℝ{0}.

Passo 5

Como a função vetorial é contínua exatamente onde cada componente é contínua, o domínio de continuidade é a interseção dos domínios: ℝ{0}.

Resposta

{t \in \mathbb{R} ; t \neq 0}

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