Fazendo uso da substituição, calcule as integrais:
integral0^4 (1+e^raizx)raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^4 1 + e^raizxraizx , dx usando substituição. Essa integral envolve funções exponenciais e raízes, então vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = raizx. Isso significa que x = u^2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx em termos de du. Diferenciando x = u^2, temos:
dx = 2u , du

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original, temos:
integral 1 + e^uu cdot 2u , du
Aqui, raizx virou u e dx virou 2u , du.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral 1 + e^uu cdot 2u , du = integral 2(1 + e^u) , du
Os u no numerador e denominador se cancelam, deixando uma expressão mais simples para integrar.

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 2(1 + e^u) , du = 2 integral 1 , du + 2 integral e^u , du

Passo 7

Calculando as integrais:
2 integral 1 , du = 2u
2 integral e^u , du = 2e^u
Então, a integral fica:
2u + 2e^u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, voltamos à variável original x, já que u = raizx:
2raizx + 2e^raizx + C

Passo 9

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
[2raizx + 2e^raizx]0^4 = (2raiz4 + 2e^raiz4) - (2raiz0 + 2e^raiz0)
Calculando cada parte:
2raiz4 = 2 times 2 = 4
2e^raiz4 = 2e^2
2raiz0 = 0
2e^raiz0 = 2e^0 = 2 times 1 = 2
Então:
(4 + 2e^2) - (0 + 2) = 4 + 2e^2 - 2 = 2 + 2e^2

Resposta

A integral integral0^4 1 + e^raizxraizx , dx é igual a 2 + 2e^2.

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