Fazendo uso da integração por partes, calcule a integral indefinida
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse tipo de integral aparece quando temos o produto de uma função exponencial com uma função trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta poderosa no cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, a ideia é escolher qual parte da nossa integral vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada, e
como o restante da integral.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a segunda integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, dessa vez com:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes novamente:
Passo 7
Vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos anteriormente:
Passo 8
Agora, vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação:
Agora, vamos juntar os termos com
:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
A integral é igual a
onde
é a constante de integração.