Fazendo uso da integração por partes, calcule a integral indefinida
integral e^2 x cos 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^2x cos 3x , dx usando integração por partes. Esse tipo de integral aparece quando temos o produto de uma função exponencial com uma função trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta poderosa no cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a ideia é escolher qual parte da nossa integral vai ser u e qual vai ser dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada, e dv como o restante da integral.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = e^2x e dv = cos 3x , dx
Agora, vamos calcular du e v:
du = ddx e^2x , dx = 2 e^2x , dx
v = integral cos 3x , dx = sin 3x3

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^2x cos 3x , dx = u cdot v - integral v , du
= e^2x cdot sin 3x3 - integral sin 3x3 cdot 2 e^2x , dx
= e^2x sin 3x3 - 23 integral e^2x sin 3x , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a segunda integral integral e^2x sin 3x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes, dessa vez com:
u = e^2x e dv = sin 3x , dx
Calculando du e v:
du = 2 e^2x , dx
v = -cos 3x3

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^2x sin 3x , dx = u cdot v - integral v , du
= e^2x cdot (-cos 3x3) - integral (-cos 3x3) cdot 2 e^2x , dx
= -e^2x cos 3x3 + 23 integral e^2x cos 3x , dx

Passo 7

Vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos anteriormente:
integral e^2x cos 3x , dx = e^2x sin 3x3 - 23 ( -e^2x cos 3x3 + 23 integral e^2x cos 3x , dx )
= e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9 - 49 integral e^2x cos 3x , dx

Passo 8

Agora, vamos chamar a integral original de I:
I = integral e^2x cos 3x , dx
Substituindo na equação:
I = e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9 - 49 I
Agora, vamos juntar os termos com I:
I + 49 I = e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9
139 I = e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9

Passo 9

Isolando I:
I = ( e^2x sin 3x3 + 2 e^2x cos 3x9 ) cdot 913
I = 3 e^2x sin 3x + 2 e^2x cos 3x13

Resposta

A integral é igual a
integral e^2x cos 3x , dx = e^2x (3 sin 3x + 2 cos 3x)13 + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados