Mostre que as matrizes abaixo são diagonalizáveis
[ccc2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = 2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2
é diagonalizável. Vamos usar o critério: uma matriz de ordem n com n autovalores distintos é diagonalizável.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Como A-lambda I tem a forma
A - lambda I = 2-lambda & -2 & 3 0 & 3-lambda & -2 0 & -1 & 2-lambda ,
o determinante se expande facilmente pela primeira coluna zerada abaixo de 2-lambda:
chiA(lambda) =(2-lambda)det! 3-lambda & -2 -1 & 2-lambda

Passo 3

Agora calculemos o determinante do bloco 2times2:
det! 3-lambda & -2 -1 & 2-lambda =(3-lambda)(2-lambda)-(-2)(-1) =lambda^2-5lambda+6-2 =lambda^2-5lambda+4
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chiA(lambda) =(2-lambda)l(lambda^2-5lambda+4r) =-(lambda-2)(lambda^2-5lambda+4) =-(lambda-2)(lambda-1)(lambda-4)

Passo 4

O polinômio característico tem raízes lambda=2, lambda=1 e lambda=4, todas distintas. Pelo teorema que afirma que uma matriz de ordem n com n autovalores distintos é diagonalizável, concluímos que A é diagonalizável.

Resposta

A matriz é diagonalizável, pois seus autovalores 1,2,4 são distintos.

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