Para o conjunto R^* com a operação a star b=ab2, verifique se a operação é associativa, comutativa, se possui elemento neutro e se todo elemento admite inverso.

Passo 1

O enunciado quer analisar a operação astar b=ab2 em R^*, verificando comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inversos. O conteúdo é teoria de operações binárias e grupos; vamos usar definições de cada propriedade.

Passo 2

Para a comutatividade, observamos que o produto usual de números reais é comutativo. Então
astar b=ab2=ba2=bstar a, ,
portanto star é comutativa.

Passo 3

Para a associatividade, calculamos de dois jeitos e comparamos:
(astar b)star c=l(ab2r),c2=abc4
astar(bstar c)=a,l(bc2r)2=abc4
como os resultados coincidem, star é associativa.

Passo 4

Para achar o elemento neutro e, exigimos astar e=a:
ae2=aRightarrow e=2
Verificamos também estar a=tfracea2=a, então e=2 é mesmo o neutro.

Passo 5

Finalmente, para todo ainR^* precisamos de b tal que astar b=2:
ab2=2Rightarrow b=4a
esse b satisfaz também bstar a=2, logo todo elemento tem inverso dado por a^-1=4/a.

Resposta

A operação é comutativa, associativa, o elemento neutro é 2 e o inverso de cada a é 4/a.

Exercícios relacionados