Propriedades de Cancelamento: Seja
um grupo e sejam
. Prove que :
(i) Se
, então
.
(ii) Se
, então
.
(i) Se
(ii) Se
Passo 1
O enunciado diz que em um grupo
, para
, devemos provar as propriedades de cancelamento: se
então
, e se
então
. Vamos usar o fato de que em um grupo todo elemento tem inversa e que a operação é associativa.
Passo 2
Suponha que
. Como
tem inversa
, multiplicamos à esquerda por
em ambos os lados:
Pela associatividade,
Mas
, o elemento neutro. Logo
e, como
é neutro,
Passo 3
Agora suponha que
. Usamos a inversa de
, multiplicando à direita por
:
De novo pela associatividade,
Como
, temos
e portanto
Resposta
y = z e x = y