Propriedades de Cancelamento: Seja G um grupo e sejam x, y, z in G. Prove que :
(i) Se xy=xz, então y=z.
(ii) Se xz=yz, então x=y.

Passo 1

O enunciado diz que em um grupo G, para x,y,zin G, devemos provar as propriedades de cancelamento: se xy = xz então y=z, e se xz = yz então x=y. Vamos usar o fato de que em um grupo todo elemento tem inversa e que a operação é associativa.

Passo 2

Suponha que xy = xz. Como x tem inversa x^-1, multiplicamos à esquerda por x^-1 em ambos os lados:
x^-1(xy) = x^-1(xz)
Pela associatividade,
(x^-1x)y = (x^-1x)z
Mas x^-1x = e, o elemento neutro. Logo
ey = ez
e, como e é neutro,
y = z

Passo 3

Agora suponha que xz = yz. Usamos a inversa de z, multiplicando à direita por z^-1:
(xz)z^-1 = (yz)z^-1
De novo pela associatividade,
x(zz^-1) = y(zz^-1)
Como zz^-1 = e, temos
xe = ye
e portanto
x = y

Resposta

y = z e x = y

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