Defina: Grupo com uma operação * ; Grupo Abeliano ; Grupo Aditivo ; Grupo Multiplicativo.

Passo 1

Beleza, a gente vai definir alguns conceitos importantes de álgebra abstrata relacionados a grupos. Vamos precisar entender o que é um grupo, um grupo abeliano, um grupo aditivo e um grupo multiplicativo. Vou explicar cada um deles passo a passo para facilitar.

Passo 2

Grupo com uma operação *: Um grupo é um conjunto $ G $ acompanhado de uma operação binária G que combina dois elementos quaisquer de $ G $ para formar outro elemento de $ G $. Para que $ (G, *) $ seja um grupo, precisam ser satisfeitas quatro propriedades fundamentais:
  1. Fechamento: Para todo $ a, b \in G $, o resultado $ a * b $ também está em $ G $.
  2. Associatividade: Para todo $ a, b, c \in G $, $ (a * b) * c = a * (b * c) $.
  3. Elemento identidade: Existe um elemento $ e \in G $ tal que para todo $ a \in G $, $ e * a = a * e = a $.
  4. Elemento inverso: Para todo $ a \in G $, existe um elemento $ b \in G $ tal que $ a * b = b * a = e $, onde $ e $ é o elemento identidade.

Passo 3

Grupo Abeliano: Um grupo abeliano é um grupo que, além de satisfazer todas as propriedades de um grupo comum, também satisfaz a propriedade de comutatividade. Isso significa que para todo $ a, b \in G $, $ a * b = b * a $. O nome “abeliano” homenageia o matemático Niels Henrik Abel, que estudou esses tipos de grupos.

Passo 4

Grupo Aditivo: Um grupo aditivo é um grupo no qual a operação * é interpretada como uma adição. Geralmente, usamos a notação $ + $ para representar a operação. Assim, podemos escrever o grupo como $ (G, +) + é 0 $), e o inverso de um elemento $ a $ é seu negativo ($ -a $).

Passo 5

Grupo Multiplicativo: Um grupo multiplicativo é um grupo onde a operação * é interpretada como uma multiplicação. A notação comum para esse grupo é $ (G, \cdot) $ ou simplesmente $ G $ quando o contexto está claro. Aqui, o elemento identidade é o um ($ 1 $), e o inverso de um elemento $ a $ é seu inverso multiplicativo ($ a^{-1} $).

Resposta

  • Grupo com uma operação *: Conjunto $ G $ com uma operação G que satisfaz fechamento, associatividade, existência de identidade e de inversos.
  • Grupo Abeliano: Grupo em que a operação é comutativa, ou seja, $ a * b = b * a $ para todos $ a, b \in G $.
  • Grupo Aditivo: Grupo onde a operação é a adição, representado por $ (G, +) $, com identidade $ 0 $ e inversos $ -a $.
  • Grupo Multiplicativo: Grupo onde a operação é a multiplicação, representado por $ (G, \cdot) $, com identidade $ 1 $ e inversos $ a^{-1} $.

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