Seja S=a, b com a operação definida por:
Determine se c|cc * & a & b hline a & a & b b & b & a forma um grupo.

Passo 1

Temos o conjunto S = {a, b} com a operação * dada pela tabela do enunciado. O conteúdo aqui é Teoria de Grupos, e para mostrar que (S, *) é um grupo precisamos verificar quatro axiomas: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade.

Passo 2

Verificação de fechamento: basta olhar todos os resultados na tabela e ver que sempre saímos de S. De fato,
a * a = a, a * b = b, b * a = b, b * b = a,
e todos esses resultados (a ou b) pertencem a S. Logo, a operação é fechada.

Passo 3

Encontrar o elemento neutro: buscamos e \in S tal que e * x = x * e = x para todo x em S. Testando e = a temos:
a * a = a, a * b = b, b * a = b,
então a funciona tanto à esquerda quanto à direita. Testar e = b não dá certo (por exemplo b * a = b ≠ a). Logo, o elemento neutro é a.

Passo 4

Achar inversos: o inverso de x é y tal que x * y = y * x = e = a. Para x = a escolhemos y = a, pois
a * a = a = e
e isso vale em ambas as ordens. Para x = b escolhemos y = b, pois
b * b = a = e
e de novo em ambas as ordens. Assim, todo elemento de S tem inverso em S.

Passo 5

Checar associatividade: notamos que a operação * coincide com a soma módulo 2 se identificarmos a ↦ 0 e b ↦ 1. Em Z2 a soma é associativa, logo * também é associativa em S. Portanto, todos os axiomas de grupo estão satisfeitos.

Resposta

Sim, (S, *) é um grupo. O elemento neutro é a, e cada elemento é seu próprio inverso (a^{–1}=a e b^{–1}=b). Este grupo é isomorfo a (\mathbb{Z}_2,+).

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