O conjunto
, onde
é um anel comutativo. Encontre o elemento neutro da soma e da multiplicação e determine o simétrico do número
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto dos números reais com duas operações: uma soma especial,
, e uma multiplicação especial,
. O objetivo é encontrar o elemento neutro para cada operação e o simétrico de um número qualquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um elemento neutro. No contexto de uma operação, o elemento neutro é aquele que, quando combinado com qualquer outro elemento usando essa operação, não altera o outro elemento. Por exemplo, na soma comum, o neutro é 0 porque
.
Passo 3
Vamos começar encontrando o elemento neutro para a operação
. Queremos achar um número
tal que para todo
:
Substituindo a definição de
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo 2:
Então, o elemento neutro para a soma
é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o elemento neutro para a multiplicação
. Queremos achar um número
tal que para todo
:
Substituindo a definição de
:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Então, o elemento neutro para a multiplicação
é
.
Passo 7
Por último, vamos encontrar o simétrico de um número
em relação à operação
. O simétrico de
é um número
tal que:
Onde
é o neutro da soma, que já encontramos como
.
Passo 8
Substituindo a definição de
e o valor de
:
Resolvendo para
:
Então, o simétrico de
é
.
Resposta
O elemento neutro da soma
é
, o elemento neutro da multiplicação
é
, e o simétrico de
é
.