O conjunto R, op, odot, onde
a ⊕ b = a + b + 2 e a ⊙ b = 2 a b
é um anel comutativo. Encontre o elemento neutro da soma e da multiplicação e determine o simétrico do número a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto dos números reais com duas operações: uma soma especial, , e uma multiplicação especial, . O objetivo é encontrar o elemento neutro para cada operação e o simétrico de um número qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um elemento neutro. No contexto de uma operação, o elemento neutro é aquele que, quando combinado com qualquer outro elemento usando essa operação, não altera o outro elemento. Por exemplo, na soma comum, o neutro é 0 porque .

Passo 3

Vamos começar encontrando o elemento neutro para a operação . Queremos achar um número tal que para todo :
Substituindo a definição de :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo 2:
Então, o elemento neutro para a soma é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o elemento neutro para a multiplicação . Queremos achar um número tal que para todo :
Substituindo a definição de :

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Dividindo ambos os lados por (considerando ):
Então, o elemento neutro para a multiplicação é .

Passo 7

Por último, vamos encontrar o simétrico de um número em relação à operação . O simétrico de é um número tal que:
Onde é o neutro da soma, que já encontramos como .

Passo 8

Substituindo a definição de e o valor de :
Resolvendo para :
Então, o simétrico de é .

Resposta

O elemento neutro da soma é , o elemento neutro da multiplicação é , e o simétrico de é .

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