Seja
, onde
. Mostre que
é um ideal de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
, onde
é o conjunto dos números inteiros com parte imaginária. O objetivo é mostrar que
é um ideal do anel
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal em um anel. Um ideal é um subconjunto especial que, além de ser um subanel, também absorve a multiplicação pelo anel inteiro. Então, vamos verificar duas coisas principais:
-
é um subanel de . - Para qualquer elemento
em e qualquer elemento em , o produto também está em .
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é um subanel de
. Para isso, precisamos verificar que
é fechado sob adição e subtração, e que contém o elemento neutro do anel.
-
Fechamento sob adição: Seja
e em . Então, . Como está em , também está em . -
Fechamento sob subtração: Similar ao caso da adição,
. Novamente, está em , então está em . -
Elemento neutro: O elemento neutro de
é . Multiplicando por , temos , que está em .
Portanto,
é um subanel de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda condição para
ser um ideal: para todo
e todo
, o produto
está em
.
Seja
e
, onde
. Então:
Primeiro, vamos multiplicar
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Como
, multiplicando por
, o resultado
também estará em
. Assim,
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as condições necessárias para ser um ideal de
. Portanto,
é um ideal de
.