Seja B = {(1+i) z | z em Z[i]}, onde Z[i] = {a + b i | a, b pertencem a Z}. Mostre que B é um ideal de Z[i].

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto , onde é o conjunto dos números inteiros com parte imaginária. O objetivo é mostrar que é um ideal do anel .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal em um anel. Um ideal é um subconjunto especial que, além de ser um subanel, também absorve a multiplicação pelo anel inteiro. Então, vamos verificar duas coisas principais:
  1. é um subanel de .
  2. Para qualquer elemento em e qualquer elemento em , o produto também está em .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é um subanel de . Para isso, precisamos verificar que é fechado sob adição e subtração, e que contém o elemento neutro do anel.
  • Fechamento sob adição: Seja e em . Então, . Como está em , também está em .
  • Fechamento sob subtração: Similar ao caso da adição, . Novamente, está em , então está em .
  • Elemento neutro: O elemento neutro de é . Multiplicando por , temos , que está em .
Portanto, é um subanel de .

Passo 3

Agora, vamos verificar a segunda condição para ser um ideal: para todo e todo , o produto está em .
Seja e , onde . Então:
Primeiro, vamos multiplicar :
Sabemos que , então:
Portanto:
Como , multiplicando por , o resultado também estará em . Assim, .

Resposta

Concluímos que satisfaz todas as condições necessárias para ser um ideal de . Portanto, é um ideal de .

Exercícios relacionados