Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries: sumn=0^infty n(x+2)^n5^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de Séries de Potências e Testes de Convergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar os cálculos. A série dada é:
sumn=0^infty n(x+2)^n5^n-1
Podemos reescrever sumn=0^infty n(x+2)^n5^n5 = sumn=0^infty n(x+2)^n cdot 55^n = 5 sumn=0^infty n(x+2)^n5^n como 5 sumn=0^infty n ( x+25 )^n , então:
Então, a série simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Este teste nos ajuda a determinar para quais valores de limn to infty | an+1an | < 1 a série converge. O teste diz que:
Onde .

Passo 4

Calculando a razão an+1an = (n+1) ( x+25 )^n+1n ( x+25 )^n = n+1n cdot x+25 :
n+1n cdot x+25 = (1 + 1n) cdot x+25
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty (1 + 1n) cdot x+25 = 1 cdot x+25 = x+25 tende ao infinito:
| x+25 | < 1
Para que a série convirja, esse limite deve ser menor que 1 em valor absoluto:

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de | x+25 | < 1 implies |x + 2| < 5 :
-5 < x + 2 < 5
Isso significa que -7 < x < 3 está entre e :
Subtraindo 2 de todas as partes:

Passo 7

O raio de convergência R = 102 = 5 é metade do comprimento do intervalo de convergência. Sabemos que o intervalo é de a , que tem comprimento . Então:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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