Para um conjunto
de números, um elemento
de
é chamado de máximo de
se ele for um limitante superior de
. Prove que um conjunto
de números tem um máximo se, e somente se, ele é limitado superiormente e sup
pertence a
. Dê um exemplo de um conjunto
de números que seja não vazio e limitado superiormente, mas que não tenha máximo.
Passo 1
O enunciado dá a definição: um elemento
de um conjunto
é chamado de máximo de
se ele for um limitante superior de
(ou seja,
e para todo
vale
).
O que se pede:
O que se pede:
- Provar a equivalência: “o conjunto
tem um máximo” se, e somente se, "ele é limitado superiormente e ". - Dar um exemplo de um conjunto
não vazio e limitado superiormente, mas que não tenha máximo.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A definição de máximo (já citada acima).
- O conceito de limitante superior (upper bound): um número
é limitante superior de se, para todo , . - O símbolo
significa o supremo (menor limitante superior) de quando é limitado superiormente.
Passo 2
Vou provar a primeira implicação: se
tem máximo então
é limitado superiormente e
.
Seja
um máximo de
. Pela definição de máximo temos
e, para todo
,
. Isso mostra imediatamente que
é um limitante superior de
, logo
é limitado superiormente (porque existe pelo menos um limitante superior,
). Como
é limitado superiormente, o supremo
existe nos reais (uso aqui a completude dos reais).
Agora comparo
e
. Pela definição de supremo,
é o menor dos limitantes superiores, então qualquer limitante superior (em particular
) satisfaz
Por outro lado,
é um limitante superior de
, então, como
, vale
Juntando as duas desigualdades obtemos
. Como
, conclui-se que
. Assim, provou-se que se
tem máximo então
é limitado superiormente e
.
Passo 3
Agora a implicação inversa: se
é limitado superiormente e
, então
tem máximo.
Suponha que
seja limitado superiormente e que
. Pelo fato de
ser um limitante superior de
, para todo
vale
. Como além disso
, vemos que
é um elemento de
que é também um limitante superior de
. Pela definição, isso significa exatamente que
é o máximo de
. Logo
tem máximo.
Passo 4
Conclusão lógica da prova: combinando os Passos 2 e 3, obtemos a equivalência desejada:
A ideia essencial: ter um máximo é ter um limitante superior que, além de ser maior ou igual a todos os elementos, também pertence ao conjunto; e isso é exatamente a condição
.
Passo 5
Exemplo pedido (não vazio e limitado superiormente, mas sem máximo).
Considere
. Esse conjunto é não vazio e é limitado superiormente (por exemplo,
é um limitante superior). O supremo é
. No entanto
, logo
. Pelo que provamos, isso significa que
não tem máximo.
Para ver de forma construtiva por que não existe máximo: suponha, por absurdo, que existisse
que fosse máximo. Então
. Tome
. Então
(porque
) e
, o que contradiz a maximalidade de
. Assim não existe máximo em
.
Passo 6
Observações didáticas rápidas e encorajamento:
- Exemplos contrastantes: intervalos fechados
têm máximo porque e é limitante superior; intervalos abertos não têm máximo (se não pertence ao conjunto). - Técnica útil em provas: para mostrar que algo é máximo, mostre duas coisas: (i) é limitante superior; (ii) pertence ao conjunto.
Bom trabalho — essa é uma propriedade básica mas muito usada, então vale decorar a ideia: “máximo = sup que pertence ao conjunto”. Vai dar certo na prova!
Resposta
O conjunto
tem máximo se, e somente se,
é limitado superiormente e
.
Exemplo: é não vazio e limitado superiormente, mas não tem máximo.
Exemplo: