Para um conjunto S de números, um elemento c de S é chamado de máximo de S se ele for um limitante superior de S. Prove que um conjunto S de números tem um máximo se, e somente se, ele é limitado superiormente e sup S pertence a S. Dê um exemplo de um conjunto S de números que seja não vazio e limitado superiormente, mas que não tenha máximo.

Passo 1

O enunciado dá a definição: um elemento c de um conjunto S é chamado de máximo de S se ele for um limitante superior de S (ou seja, c\in S e para todo x\in S vale x\le c).
O que se pede:
  • Provar a equivalência: “o conjunto S tem um máximo” se, e somente se, "ele é limitado superiormente e \sup S\in S".
  • Dar um exemplo de um conjunto S não vazio e limitado superiormente, mas que não tenha máximo.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A definição de máximo (já citada acima).
  • O conceito de limitante superior (upper bound): um número b é limitante superior de S se, para todo x\in S, x\le b.
  • O símbolo \sup S significa o supremo (menor limitante superior) de S quando S é limitado superiormente.

Passo 2

Vou provar a primeira implicação: se S tem máximo então S é limitado superiormente e \sup S\in S.
Seja m um máximo de S. Pela definição de máximo temos m\in S e, para todo x\in S, x\le m. Isso mostra imediatamente que m é um limitante superior de S, logo S é limitado superiormente (porque existe pelo menos um limitante superior, m). Como S é limitado superiormente, o supremo \sup S existe nos reais (uso aqui a completude dos reais).
Agora comparo m e \sup S. Pela definição de supremo, \sup S é o menor dos limitantes superiores, então qualquer limitante superior (em particular m) satisfaz
\sup S \le m.
Por outro lado, \sup S é um limitante superior de S, então, como m\in S, vale
m \le \sup S.
Juntando as duas desigualdades obtemos m=\sup S. Como m\in S, conclui-se que \sup S\in S. Assim, provou-se que se S tem máximo então S é limitado superiormente e \sup S\in S.

Passo 3

Agora a implicação inversa: se S é limitado superiormente e \sup S\in S, então S tem máximo.
Suponha que S seja limitado superiormente e que \sup S\in S. Pelo fato de \sup S ser um limitante superior de S, para todo x\in S vale x\le \sup S. Como além disso \sup S\in S, vemos que \sup S é um elemento de S que é também um limitante superior de S. Pela definição, isso significa exatamente que \sup S é o máximo de S. Logo S tem máximo.

Passo 4

Conclusão lógica da prova: combinando os Passos 2 e 3, obtemos a equivalência desejada:
\text{``\(S\) tem máximo''}\quad\Longleftrightarrow\quad\bigl(S\text{ é limitado superiormente e }\sup S\in S\bigr).áé
A ideia essencial: ter um máximo é ter um limitante superior que, além de ser maior ou igual a todos os elementos, também pertence ao conjunto; e isso é exatamente a condição \sup S\in S.

Passo 5

Exemplo pedido (não vazio e limitado superiormente, mas sem máximo).
Considere S=(0,1)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<x<1\}. Esse conjunto é não vazio e é limitado superiormente (por exemplo, 1 é um limitante superior). O supremo é \sup S=1. No entanto 1\notin S, logo \sup S\notin S. Pelo que provamos, isso significa que S não tem máximo.
Para ver de forma construtiva por que não existe máximo: suponha, por absurdo, que existisse m\in S que fosse máximo. Então 0<m<1. Tome x=\dfrac{m+1}{2}. Então x\in S (porque m<x<1) e x>m, o que contradiz a maximalidade de m. Assim não existe máximo em S.

Passo 6

Observações didáticas rápidas e encorajamento:
  • Exemplos contrastantes: intervalos fechados [a,b] têm máximo b porque b\in[a,b] e é limitante superior; intervalos abertos (a,b) não têm máximo (se b não pertence ao conjunto).
  • Técnica útil em provas: para mostrar que algo é máximo, mostre duas coisas: (i) é limitante superior; (ii) pertence ao conjunto.
    Bom trabalho — essa é uma propriedade básica mas muito usada, então vale decorar a ideia: “máximo = sup que pertence ao conjunto”. Vai dar certo na prova!

Resposta

O conjunto S tem máximo se, e somente se, S é limitado superiormente e \sup S\in S.
Exemplo: S=(0,1) é não vazio e limitado superiormente, mas não tem máximo.

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