Suponha que
e
sejam subconjuntos não vazios de
que são limitados inferiormente. Seja
para algum
. Mostre que
é limitado inferiormente e que
. E quanto ao produto?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo é pegado do enunciado):
-
e são subconjuntos não vazios de . -
e são limitados inferiormente (isto é, possuem ínfimos finitos). - Definição do conjunto soma:
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
é limitado inferiormente. - Mostrar que
. - Questionar o que ocorre com o produto dos conjuntos (isto é,
): a igualdade análoga vale sempre? Em que casos vale?
Passo 2
Vamos recordar e explicar com calma alguns conceitos que usaremos.
- Definição de limite inferior e ínfimo: um número
é um limite inferior (lower bound) de um conjunto se para todo . - O ínfimo de
, escrito , é o maior limite inferior de . Isso significa duas coisas: -
é um limite inferior: para todo . - Para qualquer
existe tal que . (Isto diz que existem elementos de arbitrariamente próximos, por cima, do .)
-
Esses dois pontos são fundamentais: o primeiro dá desigualdades “para todos os elementos”, o segundo fornece aproximações arbitrárias usando
.
Passo 3
Prova de que
é limitado inferiormente.
Sejam
e
. Por definição, para todo
vale
, e para todo
vale
. Então, para qualquer
existe
com
. Assim
Logo
é um limite inferior de
. Portanto
é limitado inferiormente.
(Dica prática para a prova: quando se soma dois elementos que têm limites inferiores conhecidos, soma-se os limites inferiores para obter um limite inferior do conjunto soma.)
Passo 4
Prova de que
e, em seguida, igualdade.
Do passo anterior já temos que
é um limite inferior de
. Como
é o maior limite inferior, segue imediatamente
Agora mostramos a desigualdade oposta usando a propriedade de aproximação do ínfimo. Seja
. Porque
, existe
com
Porque
, existe
com
Somando essas desigualdades obtemos um elemento
tal que
Portanto para todo
existe
com
. Isso implica que
(pois o ínfimo é o maior limite inferior e não pode ser maior que qualquer número que tenha elementos do conjunto arbitrariamente abaixo dele). Juntando as duas desigualdades:
Comentário prático: a ideia típica é “mostre que
é limite inferior” e depois "mostre que há elementos de
tão próximos quanto se queira de
". A propriedade de existência de elementos a menos de
do ínfimo faz esse segundo passo.
Passo 5
Transição ao produto: o que podemos dizer sobre
?
Primeiro observar que a situação do produto é mais sutil: ao contrário da soma, o sinal dos elementos (positivos/negativos) interfere no comportamento do produto. Portanto uma igualdade simples e geral como
não vale em geral. Vamos dar um contraexemplo simples e depois dar condições naturais em que a igualdade passa a valer.
Passo 6
Contraexemplo que mostra que a igualdade pode falhar.
Considere
Então
. O conjunto produto é
Logo
. Mas
Portanto
. Isso prova que a igualdade não é verdadeira em geral.
(Interpretação intuitiva: multiplicar dois números que podem ser negativos pode inverter sinais e produzir valores menores do que o produto dos ínfimos.)
Passo 7
Caso em que a igualdade funciona: conjuntos não negativos.
Suponha agora que
e
são não vazios, limitados inferiormente e, além disso, contêm apenas números não negativos; isto é,
e
. Denotemos
e
. Vamos provar que
Primeiro, para todo
e
temos
e
, logo
Assim
é um limite inferior de
, isto é
.
Agora fixe
. Usando a propriedade do ínfimo, existe
com
e existe
com
, onde escolheremos
pequeno a seguir. Então
Se escolhermos
tal que
(isto é sempre possível escolhendo
suficientemente pequeno), obtemos um produto
com
Portanto, para todo
existe um elemento de
menor que
, o que implica
. Juntando as desigualdades:
Passo 8
Resumo e observações finais — quando a igualdade para o produto vale e quando não vale.
-
Para a soma: se
e são não vazios e limitados inferiormente, então é limitado inferiormente e -
Para o produto: não há uma fórmula geral sem hipóteses adicionais; a igualdade
pode falhar (veja o contraexemplo ). Contudo, se houver hipóteses naturais que controlem os sinais, a igualdade passa a ser verdadeira. Um caso simples e útil é: - Se
e (ambos não-negativos), então - Analogamente, se ambos os conjuntos são limitados superiormente e contêm apenas números não positivos, pode-se analisar com cuidado (mas atenção: sinais e máximos/ mínimos trocam papel). Em geral, sempre que os sinais são controlados de modo que a função
seja monotônica em cada argumento no domínio considerado, a identidade do ínfimo segue a mesma linha de prova por aproximação.
- Se