Suponha que A e B sejam subconjuntos não vazios de \mathbb{R} que são limitados inferiormente. Seja A+B=\{x \in R: x=a+b para algum a \in A, b \in B\}. Mostre que \mathrm{A}+\mathrm{B} é limitado inferiormente e que \inf (A+B)=\inf A+\inf B. E quanto ao produto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo é pegado do enunciado):
  • A e B são subconjuntos não vazios de \mathbb{R}.
  • A e B são limitados inferiormente (isto é, possuem ínfimos finitos).
  • Definição do conjunto soma: A+B=\{x\in\mathbb{R}: x=a+b\text{ para algum }a\in A,\\ b\in B\}.
O que o enunciado pede:
  1. Mostrar que A+B é limitado inferiormente.
  2. Mostrar que \inf(A+B)=\inf A+\inf B.
  3. Questionar o que ocorre com o produto dos conjuntos (isto é, A\cdot B=\{ab:a\in A,b\in B\}): a igualdade análoga \inf(A\cdot B)=\inf A\cdot\inf B vale sempre? Em que casos vale?

Passo 2

Vamos recordar e explicar com calma alguns conceitos que usaremos.
  • Definição de limite inferior e ínfimo: um número m é um limite inferior (lower bound) de um conjunto S\subset\mathbb{R} se m\le s para todo s\in S.
  • O ínfimo de S, escrito \inf S, é o maior limite inferior de S. Isso significa duas coisas:
    1. \inf S é um limite inferior: \inf S\le s para todo s\in S.
    2. Para qualquer \varepsilon>0 existe s\in S tal que s<\inf S+\varepsilon. (Isto diz que existem elementos de S arbitrariamente próximos, por cima, do \inf S.)
Esses dois pontos são fundamentais: o primeiro dá desigualdades “para todos os elementos”, o segundo fornece aproximações arbitrárias usando \varepsilon.

Passo 3

Prova de que A+B é limitado inferiormente.
Sejam \alpha=\inf A e \beta=\inf B. Por definição, para todo a\in A vale \alpha\le a, e para todo b\in B vale \beta\le b. Então, para qualquer x\in A+B existe a\in A,\\ b\in B com x=a+b. Assim
x=a+b\ge \alpha+\beta.
Logo \alpha+\beta é um limite inferior de A+B. Portanto A+B é limitado inferiormente.
(Dica prática para a prova: quando se soma dois elementos que têm limites inferiores conhecidos, soma-se os limites inferiores para obter um limite inferior do conjunto soma.)

Passo 4

Prova de que \inf(A+B)\ge \inf A+\inf B e, em seguida, igualdade.
Do passo anterior já temos que \alpha+\beta é um limite inferior de A+B. Como \inf(A+B) é o maior limite inferior, segue imediatamente
\inf(A+B)\ge \alpha+\beta.
Agora mostramos a desigualdade oposta usando a propriedade de aproximação do ínfimo. Seja \varepsilon>0. Porque \alpha=\inf A, existe a\in A com
a<\alpha+\frac{\varepsilon}{2}.
Porque \beta=\inf B, existe b\in B com
b<\beta+\frac{\varepsilon}{2}.
Somando essas desigualdades obtemos um elemento x=a+b\in A+B tal que
x=a+b<\alpha+\beta+\varepsilon.
Portanto para todo \varepsilon>0 existe x\in A+B com x<\alpha+\beta+\varepsilon. Isso implica que \inf(A+B)\le \alpha+\beta (pois o ínfimo é o maior limite inferior e não pode ser maior que qualquer número que tenha elementos do conjunto arbitrariamente abaixo dele). Juntando as duas desigualdades:
\inf(A+B)=\alpha+\beta=\inf A+\inf B.
Comentário prático: a ideia típica é “mostre que \alpha+\beta é limite inferior” e depois "mostre que há elementos de A+B tão próximos quanto se queira de \alpha+\beta". A propriedade de existência de elementos a menos de \varepsilon do ínfimo faz esse segundo passo.

Passo 5

Transição ao produto: o que podemos dizer sobre A\cdot B=\{ab: a\in A,b\in B\}?
Primeiro observar que a situação do produto é mais sutil: ao contrário da soma, o sinal dos elementos (positivos/negativos) interfere no comportamento do produto. Portanto uma igualdade simples e geral como \inf(A\cdot B)=\inf A\cdot\inf B não vale em geral. Vamos dar um contraexemplo simples e depois dar condições naturais em que a igualdade passa a valer.

Passo 6

Contraexemplo que mostra que a igualdade pode falhar.
Considere
A=B=\{-1,\,1\}.
Então \inf A=\inf B=-1. O conjunto produto é
A\cdot B=\{(-1)(-1),\,(-1)(1),\,(1)(-1),\,(1)(1)\}=\{1,-1\}.
Logo \inf(A\cdot B)=-1. Mas
\inf A\cdot\inf B = (-1)\cdot(-1)=1.
Portanto \inf(A\cdot B)\neq\inf A\cdot\inf B. Isso prova que a igualdade não é verdadeira em geral.
(Interpretação intuitiva: multiplicar dois números que podem ser negativos pode inverter sinais e produzir valores menores do que o produto dos ínfimos.)

Passo 7

Caso em que a igualdade funciona: conjuntos não negativos.
Suponha agora que A e B são não vazios, limitados inferiormente e, além disso, contêm apenas números não negativos; isto é, A\subset[0,\infty) e B\subset[0,\infty). Denotemos \alpha=\inf A\ge 0 e \beta=\inf B\ge 0. Vamos provar que
\inf(A\cdot B)=\alpha\beta.
Primeiro, para todo a\in A e b\in B temos a\ge\alpha e b\ge\beta, logo
ab\ge \alpha\beta.
Assim \alpha\beta é um limite inferior de A\cdot B, isto é \inf(A\cdot B)\ge\alpha\beta.
Agora fixe \varepsilon>0. Usando a propriedade do ínfimo, existe a\in A com a<\alpha+\delta e existe b\in B com b<\beta+\delta, onde escolheremos \delta>0 pequeno a seguir. Então
ab < (\alpha+\delta)(\beta+\delta)=\alpha\beta+\delta(\alpha+\beta)+\delta^2.
Se escolhermos \delta>0 tal que \delta(\alpha+\beta)+\delta^2<\varepsilon (isto é sempre possível escolhendo \delta suficientemente pequeno), obtemos um produto ab\in A\cdot B com
ab<\alpha\beta+\varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe um elemento de A\cdot B menor que \alpha\beta+\varepsilon, o que implica \inf(A\cdot B)\le\alpha\beta. Juntando as desigualdades:
\inf(A\cdot B)=\alpha\beta.

Passo 8

Resumo e observações finais — quando a igualdade para o produto vale e quando não vale.
  • Para a soma: se A e B são não vazios e limitados inferiormente, então A+B é limitado inferiormente e
    \inf(A+B)=\inf A+\inf B.
  • Para o produto: não há uma fórmula geral sem hipóteses adicionais; a igualdade \inf(A\cdot B)=\inf A\cdot\inf B pode falhar (veja o contraexemplo A=B=\{-1,1\}). Contudo, se houver hipóteses naturais que controlem os sinais, a igualdade passa a ser verdadeira. Um caso simples e útil é:
    • Se A\subset[0,\infty) e B\subset[0,\infty) (ambos não-negativos), então \inf(A\cdot B)=\inf A\cdot\inf B.
    • Analogamente, se ambos os conjuntos são limitados superiormente e contêm apenas números não positivos, pode-se analisar com cuidado (mas atenção: sinais e máximos/ mínimos trocam papel). Em geral, sempre que os sinais são controlados de modo que a função (a,b)\mapsto ab seja monotônica em cada argumento no domínio considerado, a identidade do ínfimo segue a mesma linha de prova por aproximação.

Resposta

\text{(i) }A+B\text{ é limitado inferiormente e }\inf(A+B)=\inf A+\inf B.é\n \text{(ii) Para o produto não vale em geral. Ex.: }A=B=\{-1,1\}\text{ tem }\inf(A\cdot B)=-1\neq1=\inf A\cdot\inf B.\text{ Porém, se }A,B\subset[0,\infty)\text{ então }\inf(A\cdot B)=\inf A\cdot\inf B.ãéã

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