Determine o domínio da função:
f(x, y)=\ln (y-3 x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\ln(y-3x) e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é f(x,y)=\ln(y-3x).
  • A expressão dentro do logaritmo é y-3x.

Passo 2

Propriedade fundamental do logaritmo natural: o logaritmo natural \ln(t) está definido apenas para argumentos positivos, ou seja, para valores t tais que
t>0.
Explicando de forma simples: \ln(0) não está definido no conjunto dos números reais (tende a -\infty), e \ln(t) para t<0 não é um número real (leva ao domínio complexo). Portanto, para que f(x,y) seja real, é obrigatório que a expressão dentro do logaritmo seja estritamente positiva.

Passo 3

Aplicando a condição de positividade ao argumento da função:
y-3x>0.
Agora isolamos y para ter uma descrição mais clara:
y>3x.
Os passos algébricos são simples: soma-se 3x em ambos os lados da desigualdade para obter y>3x.

Passo 4

Interpretação geométrica e testes práticos:
  • A desigualdade y>3x descreve o conjunto de pontos no plano \mathbb{R}^2 que ficam estritamente acima da reta de equação y=3x. A reta em si (onde y=3x) não pertence ao domínio porque ali y-3x=0 e \ln(0) é indefinido.
  • Exemplos para treinar:
    • Para (x,y)=(0,1) temos y-3x=1-0=1>0, logo f(0,1)=\ln(1)=0 é definido.
    • Para (x,y)=(1,2) temos y-3x=2-3=-1\le0, logo f(1,2) não é definido em \mathbb{R}.
    • Para (x,y)=(1,4) temos y-3x=4-3=1>0, logo f(1,4)=\ln(1)=0 é definido.
  • Dica prática para a prova: ao ver \ln(\text{expressão})ã, sempre transforme em uma desigualdade do tipo \text{expressão}>0ã e resolva para as variáveis envolvidas.

Passo 5

Resumo do raciocínio (sem repetir a resposta final formal): a condição de existência do logaritmo levou à desigualdade y-3x>0, que foi manipulada para y>3x; isso identifica a região do plano onde a função está definida.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>3x\}

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