Determine o domínio da função:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
. - A expressão dentro do logaritmo é
.
Passo 2
Propriedade fundamental do logaritmo natural: o logaritmo natural
está definido apenas para argumentos positivos, ou seja, para valores
tais que
Explicando de forma simples:
não está definido no conjunto dos números reais (tende a
), e
para
não é um número real (leva ao domínio complexo). Portanto, para que
seja real, é obrigatório que a expressão dentro do logaritmo seja estritamente positiva.
Passo 3
Aplicando a condição de positividade ao argumento da função:
Agora isolamos
para ter uma descrição mais clara:
Os passos algébricos são simples: soma-se
em ambos os lados da desigualdade para obter
.
Passo 4
Interpretação geométrica e testes práticos:
- A desigualdade
descreve o conjunto de pontos no plano que ficam estritamente acima da reta de equação . A reta em si (onde ) não pertence ao domínio porque ali e é indefinido. - Exemplos para treinar:
- Para
temos , logo é definido. - Para
temos , logo não é definido em . - Para
temos , logo é definido.
- Para
- Dica prática para a prova: ao ver
, sempre transforme em uma desigualdade do tipo e resolva para as variáveis envolvidas.
Passo 5
Resumo do raciocínio (sem repetir a resposta final formal): a condição de existência do logaritmo levou à desigualdade
, que foi manipulada para
; isso identifica a região do plano onde a função está definida.