Questão (0,4 ponto)
Realize as conversões de base abaixo (mostrando as operações realizadas):
1101001_{2}=

Passo 1

O enunciado fornece o número binário \,1101001_2 e pede para realizar a(s) conversão(ões) — vou converter esse número para a base decimal (base 10), que é a conversão mais comum quando se escreve apenas = sem especificar a base de destino. Informações dadas:
  • Número a converter: \,1101001_2.

Passo 2

Entendendo o que significa um número em base 2 (binário). Em sistema posicional, cada dígito tem um peso que é uma potência da base. Para a base 2, isso quer dizer que cada dígito b_k (que vale 0 ou 1) na posição k (contando a partir de 0 para o bit mais à direita) vale b_k\cdot 2^k.
A fórmula geral para um número binário b_n b_{n-1}\dots b_1 b_0 é:
\sum_{k=0}^{n} b_k \, 2^k.
Aqui b_k é o bit na posição k (0 ou 1) e 2^k é a potência de dois correspondente ao peso daquela posição.

Passo 3

Aplicando a definição ao número \,1101001_2. Primeiro identificamos as posições (do bit mais à direita, posição 0, até o mais à esquerda). Escrevemos a expansão:
1101001_2 = 1\cdot 2^6 + 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0.
Aqui usei que o número tem 7 bits, então o bit mais à esquerda é posição 6.

Passo 4

Calculemos as potências de 2 e os termos correspondentes:
2^6=64,\quad 2^5=32,\quad 2^4=16,\quad 2^3=8,\quad 2^2=4,\quad 2^1=2,\quad 2^0=1.
Substituindo:
1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 0\cdot 16 + 1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1.

Passo 5

Agora somamos os termos, passo a passo (sem pular contas):
64 + 32 = 96,
96 + 0 = 96,
96 + 8 = 104,
104 + 0 = 104,
104 + 0 = 104,
104 + 1 = 105.
Logo o valor decimal é \,105.

Passo 6

Um método alternativo — útil na prova porque é rápido e fácil de fazer de cabeça — é o método da multiplicação sucessiva (dobrar e adicionar). Começa-se do zero e, lendo os bits da esquerda para a direita, faz-se: acumulador := acumulador \times 2 + bit atual. Aplicando a \,1101001_2:
  • Começo: acumulador =0.
  • Lendo o primeiro bit 1: 0\cdot2+1=1.
  • Próximo bit 1: 1\cdot2+1=3.
  • Próximo bit 0: 3\cdot2+0=6.
  • Próximo bit 1: 6\cdot2+1=13.
  • Próximo bit 0: 13\cdot2+0=26.
  • Próximo bit 0: 26\cdot2+0=52.
  • Último bit 1: 52\cdot2+1=105.
Mesmo resultado: \,105. Esse procedimento é ótimo quando não se quer escrever todas as potências de 2.

Resposta

105_{10}

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