1. O conjunto S^1=v=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1 com as operações de de soma e produto por escalar de R^2 é um subespaço vetorial de R^2 ? Justifique e interprete geometricamente.
  2. Identifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.
    (a) O conjunto X subset R^3 formado pelos vetores v=(x, y, z) tais que z=3 x e x=2 y.
    (b) O conjunto Y subset R^3 formado pelos vetores v=(x, y, z) tais que x y=0.
    (c) O conjunto das matrizes 2 times 3 nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais.
    (d) O conjunto F subset F(R ; R) formado pelas funções f: R longrightarrow R tais que f(x+1)=f(x).
    (e) Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, considerer N(X)=phi in E ; phi(x)=0 forall x in X. Prove :
    i. Para todo X subset R, N(X) é um subespaço vetorial de E.
    ii. X subset Y Rightarrow N(Y) subset N(X)
    (f) O conjunto dos vetores v in R^5 que têm duas ou mais coordenadas nulas .

Passo 1

O enunciado traz dois tópicos principais. No item 5, pergunta se
;S^1=(x,y)inR^2mid x^2+y^2=1
é um subespaço vetorial de R^2 com as operações usuais, e pede interpretação geométrica.
No item 6, temos seis subconjuntos dados e devemos decidir quais são subespaços vetoriais, justificando a verificação dos três axiomas característicos (presença do vetor zero, fechamento em soma e em multiplicação por escalar), além de um item extra de inclusão em 6(e).

Passo 2

Para ver se S^1 é subespaço de R^2 lembramos que todo subespaço deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e produto por escalar.
  1. O vetor zero de R^2 é (0,0), mas (0,0)notin S^1 porque 0^2+0^2=0neq1.
  2. Mesmo que tentássemos ignorar isso, ao multiplicar um ponto (x,y) de S^1 por um escalar lambdaneqpm1, teríamos lambda (x,y) fora de S^1 pois |lambda(x,y)|=|lambda|neq1.
    Portanto S^1 falha em conter o zero e em ser fechado sob escalares, logo não é subespaço. Geometricamente, S^1 é apenas a circunferência unitária, que não é um espaço linear (não passa pela origem e não é fechado em combinações lineares).

Passo 3

Considere agora o item 6 e aplique sistematicamente os três testes.
Para o conjunto XsubsetR^3 de 6(a), definido por
z=3x, x=2y,
podemos parametrizar dizendo que todo vetor em X é da forma
(x,y,z)=(2y,y,3cdot2y)=(2y,y,6y)=y,(2,1,6)
  1. O vetor zero surge para y=0.
  2. Soma de dois vetores y1(2,1,6)+y2(2,1,6)=(y1+y2)(2,1,6) permanece em X.
  3. Escalar lambda vezes y(2,1,6) é (lambda y)(2,1,6)in X.
    Logo X é subespaço (é uma reta passando pela origem).
Para YsubsetR^3 de 6(b), definido por xy=0.
  1. O zero (0,0,0) satisfaz 0cdot0=0.
  2. Tome v=(1,0,0)in Y e w=(0,1,0)in Y. Cada um satisfaz x,y=0. Mas
v+w=(1,1,0)
não satisfaz (1)(1)=1neq0.
Portanto Y não é fechado sob soma e logo não é subespaço.

Passo 4

No item 6(c), o conjunto de matrizes 2times3 em que “alguma coluna tem entradas todas iguais”.
Se M1 tem coluna 1 constante e M2 tem coluna 2 constante, então M1+M2 pode não ter nenhuma coluna com todas as entradas iguais (a soma pode misturar colunas constantes e não constantes), falhando o fechamento em soma. Logo não é subespaço.
Em 6(d), FsubsetF(R;R) é o conjunto de funções com período 1, isto é, f(x+1)=f(x).
  1. A função zero f0(x)=0 satisfaz f0(x+1)=0=f0(x).
  2. Se f e g têm período 1 então
(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
e para escalar lambda,
(lambda f)(x+1)=lambda f(x+1)=lambda f(x)
Logo esse conjunto é fechado em soma e escalar e contém o zero, sendo subespaço.

Passo 5

Em 6(e), E= F(R;R) e para XsubsetR definimos
N(X)=phiin Emid phi(x)=0;forall xin X
(i) Para todo X, a função zero pertence a N(X). Se phi,psiin N(X), então (phi+psi)(x)=phi(x)+psi(x)=0+0=0 para todo xin X, e (lambdaphi)(x)=lambda,0=0. Assim N(X) é subespaço de E.
(ii) Se Xsubset Y, então toda função que é zero em Y também é zero em X. Logo N(Y)subset N(X).
Em 6(f), o conjunto dos vetores em R^5 que têm duas ou mais coordenadas nulas. O vetor zero pertence, mas escolha por exemplo
v=(0,0,1,1,1), w=(1,1,0,0,1),
cada um tem duas coordenadas zeradas, porém
v+w=(1,1,1,1,2)
não tem nenhuma coordenada nula. Falha o fechamento em soma, logo não é subespaço.

Resposta

  1. Não é subespaço vetorial de R^2.
  2. São subespaços apenas os conjuntos de (a), de (d) e de (e)(i); os demais não são.

Exercícios relacionados