- O conjunto
com as operações de de soma e produto por escalar de
é um subespaço vetorial de
? Justifique e interprete geometricamente.
- Identifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.
(a) O conjunto
formado pelos vetores
tais que
e
.
(b) O conjunto
formado pelos vetores
tais que
.
(c) O conjunto das matrizes
nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais.
(d) O conjunto
formado pelas funções
tais que
.
(e) Seja
. Para
qualquer, considerer
. Prove :
i. Para todo
é um subespaço vetorial de
.
ii.
(f) O conjunto dos vetores
que têm duas ou mais coordenadas nulas .
(a) O conjunto
(b) O conjunto
(c) O conjunto das matrizes
(d) O conjunto
(e) Seja
i. Para todo
ii.
(f) O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado traz dois tópicos principais. No item 5, pergunta se
é um subespaço vetorial de com as operações usuais, e pede interpretação geométrica.
No item 6, temos seis subconjuntos dados e devemos decidir quais são subespaços vetoriais, justificando a verificação dos três axiomas característicos (presença do vetor zero, fechamento em soma e em multiplicação por escalar), além de um item extra de inclusão em 6(e).
é um subespaço vetorial de
No item 6, temos seis subconjuntos dados e devemos decidir quais são subespaços vetoriais, justificando a verificação dos três axiomas característicos (presença do vetor zero, fechamento em soma e em multiplicação por escalar), além de um item extra de inclusão em 6(e).
Passo 2
Para ver se
é subespaço de
lembramos que todo subespaço deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e produto por escalar.
- O vetor zero de
é , mas porque . - Mesmo que tentássemos ignorar isso, ao multiplicar um ponto
de por um escalar , teríamos fora de pois .
Portantofalha em conter o zero e em ser fechado sob escalares, logo não é subespaço. Geometricamente, é apenas a circunferência unitária, que não é um espaço linear (não passa pela origem e não é fechado em combinações lineares).
Passo 3
Considere agora o item 6 e aplique sistematicamente os três testes.
Para o conjunto
de 6(a), definido por
podemos parametrizar dizendo que todo vetor em
é da forma
- O vetor zero surge para
. - Soma de dois vetores
permanece em . - Escalar
vezes é .
Logoé subespaço (é uma reta passando pela origem).
Para
de 6(b), definido por
.
- O zero
satisfaz . - Tome
e . Cada um satisfaz . Mas
não satisfaz
.
Portanto não é fechado sob soma e logo não é subespaço.
Portanto
Passo 4
No item 6(c), o conjunto de matrizes
em que “alguma coluna tem entradas todas iguais”.
Se tem coluna 1 constante e
tem coluna 2 constante, então
pode não ter nenhuma coluna com todas as entradas iguais (a soma pode misturar colunas constantes e não constantes), falhando o fechamento em soma. Logo não é subespaço.
Se
Em 6(d),
é o conjunto de funções com período 1, isto é,
.
- A função zero
satisfaz . - Se
e têm período 1 então
e para escalar
,
Logo esse conjunto é fechado em soma e escalar e contém o zero, sendo subespaço.
Passo 5
Em 6(e),
e para
definimos
(i) Para todo
, a função zero pertence a
. Se
, então
para todo
, e
. Assim
é subespaço de
.
(ii) Se , então toda função que é zero em
também é zero em
. Logo
.
(ii) Se
Em 6(f), o conjunto dos vetores em
que têm duas ou mais coordenadas nulas. O vetor zero pertence, mas escolha por exemplo
cada um tem duas coordenadas zeradas, porém
não tem nenhuma coordenada nula. Falha o fechamento em soma, logo não é subespaço.
Resposta
- Não é subespaço vetorial de
. - São subespaços apenas os conjuntos de (a), de (d) e de (e)(i); os demais não são.