Mostre que o vetor b=(1,2,2) não é combinação linear de v1=(1,1,2) e v2=(1,2,1).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores em R^3
v1=(1,1,2), v2=(1,2,1), b=(1,2,2)
e pede para mostrar que não existem escalares alpha e beta tais que
alpha v1+beta v2=b
O conteúdo é verificação de combinação linear e mostraremos isso resolvendo o sistema que surge da igualdade de coordenadas.

Passo 2

Escrevendo alpha v1+beta v2=(1,2,2) coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha + beta = 1, alpha + 2beta = 2, 2alpha + beta = 2

Passo 3

Das duas primeiras equações
alpha + beta = 1, alpha + 2beta = 2
subtraímos a primeira da segunda:
(alpha + 2beta) - (alpha + beta) = 2 - 1 Longrightarrow beta = 1
Substituindo beta=1 em alpha+beta=1
alpha + 1 = 1 Longrightarrow alpha = 0

Passo 4

Agora verificamos esses valores na terceira equação:
2alpha + beta = 2cdot 0 + 1 = 1 neq 2
Como não satisfaz a terceira equação, o sistema é inconsistente e não há alpha,beta que façam alpha v1+beta v2=b.

Resposta

O vetor b=(1,2,2) não é combinação linear de v1 e v2.

Exercícios relacionados