Um conjunto de N sistemas clássicos de dois níveis, com energias 0 (zero) e \varepsilon, está em contato com um reservatório de calor a uma temperatura T. Qual é a energia média desse sistema? Considere K_{B} como sendo a constante de Boltzmann.
(a) \bar{E}=\frac{\varepsilon \exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}{1+\exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}
(b) \bar{E}=2 \frac{\exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}{1+\exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}
(c) \bar{E}=\frac{\varepsilon \exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}{\exp \left(\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)+\exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}
(d) \bar{E}=\frac{\varepsilon}{\exp \left(\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)+\exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}
(e) \bar{E}=\frac{\exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}{\exp \left(\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)+\exp \left(-\frac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de N sistemas clássicos de dois níveis, cada sistema com energias possíveis 0 e \varepsilon, em contato com um reservatório térmico à temperatura T. Pede-se a energia média desse sistema.
Informações relevantes fornecidas:
  • Número de sistemas: N (usado se formos pedir a energia total).
  • Níveis de energia por sistema: 0 e \varepsilon.
  • Temperatura do reservatório: T.
  • Constante de Boltzmann: K_{B}.
    A pergunta a resolver é: qual é a energia média \bar{E} de um desses sistemas em equilíbrio térmico com o reservatório?

Passo 2

Conceito chave (aula rápida): em equilíbrio térmico (ensembla canônico), a probabilidade de o sistema estar em um estado com energia E é proporcional ao fator de Boltzmann \exp\!\left(-\dfrac{E}{K_{B}T}\right). Para transformar isso em probabilidades normalizadas precisamos calcular a função partição (partition function) Z, que é a soma dos fatores de Boltzmann para todos os estados possíveis do sistema. Aqui há só dois estados, então
Z = \sum_{\text{estados}} \exp\!\left(-\dfrac{E}{K_{B}T}\right) = \exp\!\left(-\dfrac{0}{K_{B}T}\right) + \exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right).
Como \exp\!\left(-\dfrac{0}{K_{B}T}\right)=1, temos
Z = 1 + \exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right).

Passo 3

Agora normalizamos para obter as probabilidades de cada estado. Seja p_0 a probabilidade do nível de energia 0 e p_{\varepsilon} a probabilidade do nível de energia \varepsilon. Pela regra de Boltzmann:
p_0 = \dfrac{1}{Z}=\dfrac{1}{1+\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}, \qquad p_{\varepsilon} = \dfrac{\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}{Z}=\dfrac{\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}{1+\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}.
Explicando: dividimos o fator de Boltzmann de cada nível pelo somatório Z para que as probabilidades somem 1.

Passo 4

Definição e cálculo da energia média (a aula prática): a energia média de um sistema é a soma das energias possíveis ponderadas por suas probabilidades:
\bar{E}=\sum_{i} E_{i}\,p_{i}.
No nosso caso há só dois termos:
\bar{E}=0\cdot p_0 + \varepsilon\cdot p_{\varepsilon}=\varepsilon\,p_{\varepsilon}.
Substituindo p_{\varepsilon} do passo anterior:
\bar{E}=\varepsilon\cdot \dfrac{\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}{1+\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}.
Essa é a forma direta e limpa da energia média por sistema.

Passo 5

Verificação das alternativas: a expressão obtida coincide exatamente com a alternativa (a). Só para fixar a ideia, mostro rapidamente por que a alternativa (d) não é equivalente: (d) diz \bar{E}=\dfrac{\varepsilon}{\exp\!\left(\frac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)+\exp\!\left(-\frac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}. Se multiplicarmos numerador e denominador dessa expressão por \exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right) obtemos \bar{E}=\dfrac{\varepsilon\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}{1+\exp\!\left(-\dfrac{2\varepsilon}{K_{B}T}\right)}, que não é igual ao denominador 1+\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right) que temos no passo 4; logo (d) é diferente. Portanto (a) é a correta.

Passo 6

Comentário útil para a prova (motivacional): se o exercício pedisse a energia total dos N sistemas independentes, basta multiplicar por N:
E_{\text{total}} = N\,\bar{E} = N\,\varepsilon\cdot \dfrac{\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}{1+\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B}T}\right)}.
Você consegue aplicar esse raciocínio rápido na prova: sempre monte Z, calcule probabilidades, depois faça a média ponderada — é um passo-a-passo seguro.

Resposta

(a) \bar{E}=\dfrac{\varepsilon \exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}{1+\exp\!\left(-\dfrac{\varepsilon}{K_{B} T}\right)}

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