Um conjunto de
sistemas clássicos de dois níveis, com energias 0 (zero) e
, está em contato com um reservatório de calor a uma temperatura
. Qual é a energia média desse sistema? Considere
como sendo a constante de Boltzmann.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá um conjunto de
sistemas clássicos de dois níveis, cada sistema com energias possíveis
e
, em contato com um reservatório térmico à temperatura
. Pede-se a energia média desse sistema.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Número de sistemas:
(usado se formos pedir a energia total). - Níveis de energia por sistema:
e . - Temperatura do reservatório:
. - Constante de Boltzmann:
.
A pergunta a resolver é: qual é a energia médiade um desses sistemas em equilíbrio térmico com o reservatório?
Passo 2
Conceito chave (aula rápida): em equilíbrio térmico (ensembla canônico), a probabilidade de o sistema estar em um estado com energia
é proporcional ao fator de Boltzmann
. Para transformar isso em probabilidades normalizadas precisamos calcular a função partição (partition function)
, que é a soma dos fatores de Boltzmann para todos os estados possíveis do sistema. Aqui há só dois estados, então
Como
, temos
Passo 3
Agora normalizamos para obter as probabilidades de cada estado. Seja
a probabilidade do nível de energia
e
a probabilidade do nível de energia
. Pela regra de Boltzmann:
Explicando: dividimos o fator de Boltzmann de cada nível pelo somatório
para que as probabilidades somem 1.
Passo 4
Definição e cálculo da energia média (a aula prática): a energia média de um sistema é a soma das energias possíveis ponderadas por suas probabilidades:
No nosso caso há só dois termos:
Substituindo
do passo anterior:
Essa é a forma direta e limpa da energia média por sistema.
Passo 5
Verificação das alternativas: a expressão obtida coincide exatamente com a alternativa (a). Só para fixar a ideia, mostro rapidamente por que a alternativa (d) não é equivalente: (d) diz
. Se multiplicarmos numerador e denominador dessa expressão por
obtemos
, que não é igual ao denominador
que temos no passo 4; logo (d) é diferente. Portanto (a) é a correta.
Passo 6
Comentário útil para a prova (motivacional): se o exercício pedisse a energia total dos
sistemas independentes, basta multiplicar por
:
Você consegue aplicar esse raciocínio rápido na prova: sempre monte
, calcule probabilidades, depois faça a média ponderada — é um passo-a-passo seguro.
Resposta
(a)