Considere um sistema descrito pela hamiltoniana
, onde
e
são parâmetros e
e
são a coordenada e o momento conjugado. Estime a energia média desse sistema quanto a temperatura for 400 K . Considere a constante de Boltzmann como sendo
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para estimar a energia média do sistema descrito pela hamiltoniana
quando a temperatura é
. As informações dadas são:
O que se pede é a energia média
do sistema (há alternativas de múltipla escolha listadas). Não nos deram valores numéricos para
e
, apenas que são parâmetros. A pergunta é uma estimativa da energia média na temperatura dada.
Passo 2
Princípio que vamos usar: teorema da equipartição de energia (explicação e derivação curta). O teorema da equipartição diz que, em equilíbrio térmico clássico, cada termo quadrático independente na hamiltoniana contribui com
para a energia média. Aqui temos dois termos quadráticos independentes:
e
. Logo, espera-se que
Explicando por que cada termo dá
: para um termo genérico
(com
variando de
a
) a distribuição canônica dá a média
onde
. Usando a integral gaussiana
e
, obtemos imediatamente
Portanto cada termo quadrático contribui
independentemente do coeficiente
. No nosso caso são dois termos, somando
.
Passo 3
Aplicando o resultado:
Agora calculamos numericamente com os dados:
Passo 4
Multiplicação explícita (passo a passo):
Primeiro
. Então
Passo 5
Conclusão: a energia média clássica do sistema a
é
. Entre as alternativas dadas, corresponde à alternativa (a). Força aí — você já sabe aplicar equipartição e calcular rápido no exame!
Resposta
(a)