Considere um sistema descrito pela hamiltoniana H=a x^{2}+b p^{2}, onde a e b são parâmetros e x e p são a coordenada e o momento conjugado. Estime a energia média desse sistema quanto a temperatura for 400 K . Considere a constante de Boltzmann como sendo k_{B} \approx 1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}.
(a) \bar{E}=5,52 \times 10^{-21} \mathrm{~J}
(b) \bar{E}=2,76 \times 10^{-21} \mathrm{~J}
(c) \bar{E}=1,38 \times 10^{-21} \mathrm{~J}
(d) \bar{E}=1,10 \times 10^{-21} \mathrm{~J}
(e) \bar{E}=4,00 \times 10^{-21} \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado pede para estimar a energia média do sistema descrito pela hamiltoniana \displaystyle H = a x^{2} + b p^{2} quando a temperatura é T = 400\\ \mathrm{K}. As informações dadas são:
H = a x^{2} + b p^{2},\qquad T = 400\\ \mathrm{K},\qquad k_{B} \approx 1{,}38\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
O que se pede é a energia média \bar{E} do sistema (há alternativas de múltipla escolha listadas). Não nos deram valores numéricos para a e b, apenas que são parâmetros. A pergunta é uma estimativa da energia média na temperatura dada.

Passo 2

Princípio que vamos usar: teorema da equipartição de energia (explicação e derivação curta). O teorema da equipartição diz que, em equilíbrio térmico clássico, cada termo quadrático independente na hamiltoniana contribui com \tfrac{1}{2}k_{B}T para a energia média. Aqui temos dois termos quadráticos independentes: \displaystyle a x^{2} e \displaystyle b p^{2}. Logo, espera-se que
\bar{E} = \Big\langle a x^{2}\Big\rangle + \Big\langle b p^{2}\Big\rangle = \frac{1}{2}k_{B}T + \frac{1}{2}k_{B}T = k_{B}T.
Explicando por que cada termo dá \tfrac{1}{2}k_{B}T: para um termo genérico \displaystyle c q^{2} (com q variando de -\infty a +\infty) a distribuição canônica dá a média
\langle c q^{2}\rangle = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} c q^{2} e^{-\beta c q^{2}}\,dq}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta c q^{2}}\,dq},
onde \displaystyle \beta = \frac{1}{k_{B}T}. Usando a integral gaussiana \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha q^{2}}dq=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} q^{2}e^{-\alpha q^{2}}dq=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\,\alpha^{-3/2}, obtemos imediatamente
\langle c q^{2}\rangle = \frac{c\cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}(\beta c)^{-3/2}}{\sqrt{\pi}(\beta c)^{-1/2}}=\frac{1}{2\beta}=\frac{1}{2}k_{B}T.
Portanto cada termo quadrático contribui \tfrac{1}{2}k_{B}T independentemente do coeficiente c. No nosso caso são dois termos, somando k_{B}T.

Passo 3

Aplicando o resultado:
\bar{E} = k_{B}T.
Agora calculamos numericamente com os dados:
k_{B} \approx 1{,}38\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K},\qquad T = 400\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Multiplicação explícita (passo a passo):
\bar{E} = 1{,}38\times 10^{-23}\times 400
Primeiro 1{,}38\times 400 = 552. Então
\bar{E} = 552\times 10^{-23}\\ \mathrm{J} = 5{,}52\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Conclusão: a energia média clássica do sistema a 400\\ \mathrm{K} é \bar{E}=k_{B}T=5{,}52\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}. Entre as alternativas dadas, corresponde à alternativa (a). Força aí — você já sabe aplicar equipartição e calcular rápido no exame!

Resposta

(a) \bar{E}=5{,}52\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados