Dois recipientes cilíndricos de mesma área A tem suas bases no mesmo plano horizontal. Os dois recipientes contêm líquido de densidade
com alturas
e
, respectivamente. Quando os dois recipientes forem conectados qual é o trabalho realizado pela gravidade para igualar os níveis do líquido. A aceleração da gravidade é
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá duas colunas de líquido em recipientes cilíndricos com a mesma área da base
. As bases estão no mesmo plano horizontal. As alturas do líquido são
e
com
. Ao conectarmos os recipientes, o líquido flui até os níveis se igualarem. A pergunta é: qual é o trabalho realizado pela gravidade nesse processo? Dados conhecidos: densidade do líquido
e aceleração da gravidade
.
Observações importantes do enunciado (lista de dados):
Observações importantes do enunciado (lista de dados):
Passo 2
Primeiro encontramos a altura final do líquido depois de conectar os recipientes. Como as áreas da base são iguais e o volume total de líquido se conserva, temos:
volume inicial do primeiro = ,
volume inicial do segundo = .
O volume total é . Após igualar, cada recipiente terá a mesma altura final
, e o volume total será
. Igualando volumes:
volume inicial do primeiro =
volume inicial do segundo =
O volume total é
Cancelando
,
Esse é o valor médio aritmético das alturas — faz sentido físico: o líquido se nivela.
Passo 3
Agora vamos calcular a energia potencial gravitacional do líquido (em relação ao plano das bases) antes e depois da ligação. Para entender isso, pense em uma coluna de líquido de altura
. Pegue um elemento de fluido de espessura
situado a uma altura
acima da base. O volume desse elemento é
, sua massa é
e sua energia potencial é
. Para obter a energia potencial total da coluna integramos de
até
:
Isso é apenas a soma (integral) das pequenas energias potenciais dos elementos de fluido.
Passo 4
Calcule a integral do passo anterior explicitamente. Como
são constantes:
Portanto, a energia potencial de uma coluna de altura
é
. Aqui cada símbolo significa:
-
: densidade do líquido (massa por volume), -
: área da base do cilindro, -
: aceleração da gravidade, -
: altura da coluna de líquido.
Passo 5
Use a fórmula para obter a energia potencial total inicial (antes de conectar). Temos duas colunas, alturas
e
. Soma das energias:
Passo 6
Calcule a energia potencial final (após igualar), usando
. Cada coluna terá energia
, e como são duas colunas:
Substituindo
:
Passo 7
O trabalho realizado pela gravidade
é igual à perda de energia potencial do líquido (assumimos que o excesso de energia potencial é convertido pelo trabalho da gravidade — efeitos dissipativos não considerados na formulação do enunciado). Logo:
Substituindo
e
:
Colocando em evidência
e fazendo as contas:
Calcule o colchete:
Portanto
Esse resultado é sempre positivo (pois
), ou seja, a gravidade realiza trabalho positivo igual à perda de energia potencial.