Dois recipientes cilíndricos de mesma área A tem suas bases no mesmo plano horizontal. Os dois recipientes contêm líquido de densidade \rho com alturas h_{1} e h_{2}, respectivamente. Quando os dois recipientes forem conectados qual é o trabalho realizado pela gravidade para igualar os níveis do líquido. A aceleração da gravidade é g e h_{2}>h_{1}.
(a) \frac{1}{4} \rho A g\left(h_{2}-h_{1}\right)^{2}
(b) 2 \rho A g\left(h_{2}-h_{1}\right)^{2}
(c) \rho A g\left(h_{2}-h_{1}\right)^{2}
(d) \frac{1}{2} \rho A g\left(h_{2}-h_{1}\right)^{2}
(e) 4 \rho A g\left(h_{2}-h_{1}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas colunas de líquido em recipientes cilíndricos com a mesma área da base A. As bases estão no mesmo plano horizontal. As alturas do líquido são \,h_{1}\, e \,h_{2}\, com \,h_{2}>h_{1}\,. Ao conectarmos os recipientes, o líquido flui até os níveis se igualarem. A pergunta é: qual é o trabalho realizado pela gravidade nesse processo? Dados conhecidos: densidade do líquido \rho e aceleração da gravidade g.
Observações importantes do enunciado (lista de dados):
A,\quad \rho,\quad g,\quad h_{1},\quad h_{2}\\ (h_{2}>h_{1}).

Passo 2

Primeiro encontramos a altura final do líquido depois de conectar os recipientes. Como as áreas da base são iguais e o volume total de líquido se conserva, temos:
volume inicial do primeiro = \,A h_{1}\,,
volume inicial do segundo = \,A h_{2}\,.
O volume total é \,A(h_{1}+h_{2}). Após igualar, cada recipiente terá a mesma altura final \,h_{f}\,, e o volume total será \,2A h_{f}. Igualando volumes:
2A h_{f} = A(h_{1}+h_{2}).
Cancelando A,
h_{f} = \frac{h_{1}+h_{2}}{2}.
Esse é o valor médio aritmético das alturas — faz sentido físico: o líquido se nivela.

Passo 3

Agora vamos calcular a energia potencial gravitacional do líquido (em relação ao plano das bases) antes e depois da ligação. Para entender isso, pense em uma coluna de líquido de altura H. Pegue um elemento de fluido de espessura \,dy\, situado a uma altura y acima da base. O volume desse elemento é \,A\,dy, sua massa é \rho A\,dy e sua energia potencial é \,dU = (\text{massa}) \cdot g \cdot y = \rho A g y\,dy. Para obter a energia potencial total da coluna integramos de y=0 até y=H:
U(H)=\int_{0}^{H} \rho A g\, y\, dy.
Isso é apenas a soma (integral) das pequenas energias potenciais dos elementos de fluido.

Passo 4

Calcule a integral do passo anterior explicitamente. Como \rho,A,g são constantes:
U(H)=\rho A g \int_{0}^{H} y\,dy = \rho A g \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{H} = \frac{1}{2}\rho A g H^{2}.
Portanto, a energia potencial de uma coluna de altura H é \,\dfrac{1}{2}\rho A g H^{2}\,. Aqui cada símbolo significa:
  • \rho: densidade do líquido (massa por volume),
  • A: área da base do cilindro,
  • g: aceleração da gravidade,
  • H: altura da coluna de líquido.

Passo 5

Use a fórmula para obter a energia potencial total inicial (antes de conectar). Temos duas colunas, alturas \,h_{1}\, e \,h_{2}. Soma das energias:
U_{i} = \frac{1}{2}\rho A g h_{1}^{2} + \frac{1}{2}\rho A g h_{2}^{2} = \frac{1}{2}\rho A g \left(h_{1}^{2}+h_{2}^{2}\right).

Passo 6

Calcule a energia potencial final (após igualar), usando \,h_{f}=\dfrac{h_{1}+h_{2}}{2}\,. Cada coluna terá energia \dfrac{1}{2}\rho A g h_{f}^{2}, e como são duas colunas:
U_{f} = 2\cdot\frac{1}{2}\rho A g h_{f}^{2} = \rho A g h_{f}^{2}.
Substituindo h_{f}:
U_{f} = \rho A g \left(\frac{h_{1}+h_{2}}{2}\right)^{2} = \rho A g \cdot \frac{h_{1}^{2}+2h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{4} = \frac{1}{4}\rho A g\left(h_{1}^{2}+2h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}\right).

Passo 7

O trabalho realizado pela gravidade W é igual à perda de energia potencial do líquido (assumimos que o excesso de energia potencial é convertido pelo trabalho da gravidade — efeitos dissipativos não considerados na formulação do enunciado). Logo:
W = U_{i} - U_{f}.
Substituindo U_{i} e U_{f}:
W = \frac{1}{2}\rho A g\left(h_{1}^{2}+h_{2}^{2}\right) - \frac{1}{4}\rho A g\left(h_{1}^{2}+2h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}\right).
Colocando em evidência \rho A g e fazendo as contas:
W = \rho A g\left[\frac{1}{2}\left(h_{1}^{2}+h_{2}^{2}\right) - \frac{1}{4}\left(h_{1}^{2}+2h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}\right)\right].
Calcule o colchete:
\frac{1}{2}\left(h_{1}^{2}+h_{2}^{2}\right) - \frac{1}{4}\left(h_{1}^{2}+2h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}\right) = \frac{2(h_{1}^{2}+h_{2}^{2}) - (h_{1}^{2}+2h_{1}h_{2}+h_{2}^{2})}{4}
= \frac{h_{1}^{2} - 2h_{1}h_{2} + h_{2}^{2}}{4} = \frac{(h_{2}-h_{1})^{2}}{4}.
Portanto
W = \frac{1}{4}\rho A g (h_{2}-h_{1})^{2}.
Esse resultado é sempre positivo (pois h_{2}>h_{1}), ou seja, a gravidade realiza trabalho positivo igual à perda de energia potencial.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\rho A g\left(h_{2}-h_{1}\right)^{2}

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