Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Ache a expansão em série de Fourier seno da função f:[0, l] R dada por f(x)=1, ou seja, ache constantes bn, n >= 1, tais que 1=sumn=1^infty bn sen(n pi xl). Conclua que
R e^-c t=sumn=1^infty bn R e^-c t sen(n pi xl)
b) Resolva o problema abaixo, procurando soluções da forma u(t, x)=sumn=1^infty bn(t) sen(n pi xl) :
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x), (t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=u(t, l)=0, t>0 u(0, x)=0, x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado pede em (a) a expansão em série de Fourier seno de f(x)=1 em [0,l], isto é, encontrar coeficientes bn tais que
1 = sumn=1^infty bn,sinl(tfracnpi xlr)
Em seguida devemos multiplicar tudo por R e^-c t.
Em (b) temos o problema de calor homogêneo em (0,l) com condições de contorno nulas e condição inicial u(0,x)=0. Vamos usar separação de variáveis e desenvolver u em série de senos.

Passo 2

Para achar bn usamos a fórmula da série de Fourier seno. Como os modos sin(tfracnpi xl) são ortogonais em [0,l],
bn = 2lintegral0^l1;sin!l(tfracnpi xlr),dx
Fazendo a integral:
integral0^lsin!l(tfracnpi xlr),dx = gl[-lnpicos!l(tfracnpi xlr)gr]0^l = lnpil(1 - (-1)^nr)
Logo,
bn = 2l;lnpil(1-(-1)^nr) = 2npil(1-(-1)^nr)
Em particular, para n par temos bn=0 e para n ímpar bn=tfrac4npi.

Passo 3

Multiplicando a expansão de 1 por R e^-c t obtemos diretamente
R e^-c t = sumn=1^infty bn,R e^-c t,sin!l(tfracnpi xlr)

Passo 4

No item (b) propomos
u(t,x) = sumn=1^inftybn(t),sin!l(tfracnpi xlr)
Como partialt u = sum bn'(t)sin(tfracnpi xl) e partialx^2u = sum bn(t)l(-tfracn^2pi^2l^2r)sin(tfracnpi xl), a equação
partial upartial t = k,partial^2 upartial x^2
implica, termo a termo,
bn'(t) = -k,n^2pi^2l^2,bn(t), n>=1

Passo 5

Cada coeficiente bn(t) satisfaz a EDO linear
bn'(t) + lambdan,bn(t)=0, lambdan = k,n^2pi^2l^2,
cuja solução geral é
bn(t) = An,e^-lambdan t
A condição inicial u(0,x)=0 implica
sumn=1^inftybn(0),sin!l(tfracnpi xlr)=0 Longrightarrow bn(0)=An=0 ;;forall n

Passo 6

Como todos os An são zero, concluímos
bn(t)=0 forall n,;t,
logo
u(t,x)equiv0

Resposta

a)
bn = 2npil(1-(-1)^nr),
i.e.\ bn=0 para n par e bn=tfrac4npi para n ímpar. Consequentemente
R e^-c t = sumn=1^infty bn,R e^-c t,sin!l(tfracnpi xlr)
b)
u(t,x)equiv0

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