Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Mostre que não existe nenhuma função
f: R C de classe
C^1 e
2 pi -periódica tal que a série de Fourier seja a série abaixo:
f(x)=sumn=2^infty sen(n x)n
(Dica: Verifique se os coeficientes de Fourier da função
f^prime (a derivada de
f ) podem satisfazer a desigualdade de Bessel. Justifique).
b) Considere uma haste de cobre de 100 cm , cuja temperatura inicial seja de
100^circ C e cujas as pontas sejam mantidas a zero graus. Suponha que o coeficiente de difusão (o
k da equação do calor) seja
k=1,1 cm^2 / sec . Neste caso:
i) Ache a temperatura da haste para tempos maiores do que zero, ou seja, calcule
u(t, x) para
t>0 e
x in[0,100] . (Dica: Ache a expansão de Fourier em seno da função
f:[0,100] R dada por
f(x)=100 e use a fórmula da solução da equação do calor encontrada em sala de aula)
ii) Ache uma estimativa numérica (calculando alguns termos da solução) para os valores da temperatura no meio da haste nos tempos
30,60,300 e 3600 , ou seja, estime os valores de
u(30,50), u(60,50), u(300,50) e
u(3600,50) .