Q9: O conjunto-solução do sistema abaixo é igual ao de qual sistema dentre as opções?
\left[\begin{array}{rrrr|r}1 & 0 & 2 & 4 & 14 \\\\ -1 & 0 & -4 & -8 & -30 \\\\ 2 & 0 & 0 & -2 & -10 \\\\ -1 & 0 & -4 & -8 & -30\end{array}\right]
(A) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rrrr|r}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte matriz aumentada do sistema (peguei todos os coeficientes do enunciado):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & 4 & 14 \\[4pt] -1 & 0 & -4 & -8 & -30 \\[4pt] 2 & 0 & 0 & -2 & -10 \\[4pt] -1 & 0 & -4 & -8 & -30 \end{array}\right]
As perguntas são: determinar o conjunto- solução desse sistema e identificar qual entre as alternativas dadas tem o mesmo conjunto-solução. Vou chamar as incógnitas de \,x_1,x_2,x_3,x_4.
Informações relevantes dadas:
  • A segunda coluna é toda zero (coeficientes de x_2 são zero em todas as equações).
  • Há duas linhas idênticas (segunda e quarta linhas são iguais).
  • As alternativas (A) a (D) estão em forma de matrizes aumentadas reduzidas com três equações; provavelmente o sistema original é equivalente a uma dessas formas reduzidas.]

Passo 2

Breve lembrança de método (aula rápida): para comparar conjuntos-solução de sistemas lineares é conveniente reduzir por eliminação de Gauss até uma forma escalonada (ou forma reduzida por linhas). As operações permitidas são:
  • trocar duas linhas,
  • multiplicar uma linha por escalar não nulo,
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo é obter pivôs (primeiro coeficiente não-nulo numa linha) e eliminar abaixo/atrás, chegando a uma forma onde as equações apresentam claramente os valores de algumas variáveis (ou explicitam variáveis livres). Sempre que eu fizer uma operação, escrevo a nova matriz resultante.

Passo 3

Começo a eliminar usando operações linha a linha. Escrevo a matriz inicial novamente e aplico:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & 4 & 14 \\[4pt] 0 & 0 & -2 & -4 & -16 \\[4pt] 0 & 0 & -4 & -10 & -38 \\[4pt] 0 & 0 & -2 & -4 & -16 \end{array}\right]
Explicação curta: somando R_1 a R_2 e R_4 elimina o x_1 nessas linhas; subtraindo 2R_1 de R_3 elimina o x_1 em R_3. Agora a primeira coluna está escalonada (pivô em R_1) e as linhas 2–4 só têm entradas nas colunas 3 e 4 (e no termo independente).]

Passo 4

Vamos tornar o pivô da linha 2 igual a 1 para facilitar (dividir por -2) e usar essa linha para eliminar abaixo/ acionar pivôs:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-2}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2 = (0,0,1,2 \mid 8).
A matriz agora é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & 4 & 14 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 8 \\[4pt] 0 & 0 & -4 & -10 & -38 \\[4pt] 0 & 0 & -2 & -4 & -16 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminar a componente da coluna 3 nas demais linhas usando R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2 (para zerar o -4 em coluna 3 de R_3),
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2 (para zerar o -2 em coluna 3 de R_4),
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 (para zerar o 2 em coluna 3 de R_1).
Cálculos rápidos:
  • R_3 + 4R_2 = (0,0,0,-2 \mid -6),
  • R_4 + 2R_2 = (0,0,0,0 \mid 0) (linha nula),
  • R_1 - 2R_2 = (1,0,0,0 \mid -2).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 8 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -6 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Comentário didático: a linha 4 virou linha nula, o que indica dependência entre as equações originais (já observada porque havia linhas iguais). Não há pivô na coluna 2, então x_2 será uma variável livre.]

Passo 6

Agora normalizo o pivô em R_3 dividindo por -2:
R_3 \leftarrow \frac{1}{-2}R_3 \quad\Rightarrow\quad R_3 = (0,0,0,1 \mid 3).
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 8 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Eliminar a componente de x_4 em R_2 usando R_3:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3 \quad\Rightarrow\quad R_2 = (0,0,1,0 \mid 2).
Agora a matriz está em forma reduzida por linhas (pivôs com zeros nas outras linhas):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Interpretação das equações (cada linha corresponde a uma equação):
\begin{aligned} &x_1 = -2,\\\ &x_3 = 2,\\\ &x_4 = 3. \end{aligned}
A coluna de x_2 não tem pivô: x_2 é livre, ou seja, x_2 pode ser qualquer número real (denotar x_2=t\in\mathbb{R}). Portanto o conjunto-solução é
\{(x_1,x_2,x_3,x_4) = (-2,\,t,\,2,\,3)\mid t\in\mathbb{R}\}.]

Resposta

(C)

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