Q10: Considere as afirmativas abaixo:
I - \left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=w\right\} é subespaço vetorial de dimensão 3.
II - \left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid z y=0\right\} não é subespaço vetorial.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • São dadas duas afirmações sobre subconjuntos de \mathbb{R}^4:
    I - A=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x=w\} e a afirmação é: “é subespaço vetorial de dimensão 3”.
    II - B=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid z\,y=0\} e a afirmação é: “não é subespaço vetorial”.
  • O enunciado pergunta qual das alternativas é correta entre:
    (A) Apenas II é verdadeira.
    (B) Todas são verdadeiras.
    (C) Apenas I é verdadeira.
    (D) Todas são falsas.
  • Informação útil que vou usar (definição/consequências):
    • Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se:
      1. 0\in S;
      2. se u,v\in S então u+v\in S (fechado em soma);
      3. se u\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in S (fechado em multiplicação por escalar).
    • A dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base (conjunto linearmente independente que gera o subespaço).

Passo 2

Análise da afirmativa I: primeiro identifiquemos o conjunto
A=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x=w\}.
Reescrevendo genericamente um vetor de A: se x=w então um vetor de A tem a forma
(x,y,z,w)=(w,y,z,w).
É útil parametrizar por variáveis livres. Tomemos a=w, b=y, c=z. Então todo vetor de A pode ser escrito como
(a,b,c,a)=a(1,0,0,1)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0).
Isso nos dá três vetores candidatos a gerar A.

Passo 3

Mostrar que A é subespaço vetorial:
  • O vetor nulo (0,0,0,0) satisfaz x=w=0, logo (0,0,0,0)\in A.
  • Se u=(a_1,b_1,c_1,a_1)\in A e v=(a_2,b_2,c_2,a_2)\in A, então u+v=(a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2,\;a_1+a_2)e claramente a primeira coordenada é igual à quarta, logo u+v\in A.
  • Se \lambda\in\mathbb{R} e u=(a,b,c,a)\in A, então \lambda u=(\lambda a,\;\lambda b,\;\lambda c,\;\lambda a)e novamente a primeira coordenada é igual à quarta, logo \lambda u\in A.
Como as três propriedades são satisfeitas, A é subespaço vetorial.

Passo 4

Determinar a dimensão de A. Já exibimos que todo vetor de A é combinação linear dos três vetores
v_1=(1,0,0,1),\quad v_2=(0,1,0,0),\quad v_3=(0,0,1,0).
Mostrar que esses três são linearmente independentes:
suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
(\alpha,\;\beta,\;\gamma,\;\alpha)=(0,0,0,0).
Isto implica \alpha=0, \beta=0, \gamma=0. Logo são linearmente independentes.
Como geram A (spanning) e são 3 linearmente independentes, formam uma base de A. Portanto
\dim(A)=3.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira (é subespaço e tem dimensão 3).

Passo 5

Análise da afirmativa II: o conjunto
B=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid z\,y=0\}.
A condição z\,y=0 significa que, para um vetor pertencer a B, ou y=0 ou z=0 (ou ambos). Isso descreve a união de dois subconjuntos:
B=\{(x,y,z,w)\mid y=0\}\\ \cup\\ \{(x,y,z,w)\mid z=0\}.
Uma observação-chave: a união de dois subespaços em geral não é subespaço, a menos que um esteja contido no outro.

Passo 6

Exibir um contraexemplo simples para a fechamento por soma (suficiente para mostrar que não é subespaço):
Considere os vetores
u=(0,1,0,0).
Aqui y=1 e z=0, então z\,y=0 e u\in B.
Considere também
v=(0,0,1,0).
Aqui y=0 e z=1, então z\,y=0 e v\in B.
Agora a soma
u+v=(0,1,1,0).
Neste vetor temos y=1 e z=1, portanto z\,y=1\neq 0. Logo u+v\notin B.
Portanto B não é fechado por adição e logo não é subespaço vetorial.

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • I é verdadeira: A é subespaço e \dim(A)=3.
  • II é verdadeira: B não é subespaço (apresentamos contraexemplo).
Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(B)

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