Q10: Considere as afirmativas abaixo:
I -
é subespaço vetorial de dimensão 3.
II -
não é subespaço vetorial.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
I -
II -
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
-
São dadas duas afirmações sobre subconjuntos de
:
I -e a afirmação é: “é subespaço vetorial de dimensão 3”.
II -e a afirmação é: “não é subespaço vetorial”. -
O enunciado pergunta qual das alternativas é correta entre:
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas. -
Informação útil que vou usar (definição/consequências):
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se: -
; - se
então (fechado em soma); - se
e então (fechado em multiplicação por escalar).
-
- A dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base (conjunto linearmente independente que gera o subespaço).
- Um subconjunto
Passo 2
Análise da afirmativa I: primeiro identifiquemos o conjunto
Reescrevendo genericamente um vetor de
: se
então um vetor de
tem a forma
É útil parametrizar por variáveis livres. Tomemos
,
,
. Então todo vetor de
pode ser escrito como
Isso nos dá três vetores candidatos a gerar
.
Passo 3
Mostrar que
é subespaço vetorial:
- O vetor nulo
satisfaz , logo . - Se
e , então e claramente a primeira coordenada é igual à quarta, logo . - Se
e , então e novamente a primeira coordenada é igual à quarta, logo .
Como as três propriedades são satisfeitas,
é subespaço vetorial.
Passo 4
Determinar a dimensão de
. Já exibimos que todo vetor de
é combinação linear dos três vetores
Mostrar que esses três são linearmente independentes:
suponha que existam tais que
suponha que existam
Escrevendo coordenada a coordenada:
Isto implica
,
,
. Logo são linearmente independentes.
Como geram
(spanning) e são 3 linearmente independentes, formam uma base de
. Portanto
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira (é subespaço e tem dimensão 3).
Passo 5
Análise da afirmativa II: o conjunto
A condição
significa que, para um vetor pertencer a
, ou
ou
(ou ambos). Isso descreve a união de dois subconjuntos:
Uma observação-chave: a união de dois subespaços em geral não é subespaço, a menos que um esteja contido no outro.
Passo 6
Exibir um contraexemplo simples para a fechamento por soma (suficiente para mostrar que não é subespaço):
Considere os vetores
Considere os vetores
Aqui
e
, então
e
.
Considere também
Considere também
Aqui
e
, então
e
.
Agora a soma
Neste vetor temos
e
, portanto
. Logo
.
Portanto
não é fechado por adição e logo não é subespaço vetorial.
Passo 7
Resumo das conclusões:
- I é verdadeira:
é subespaço e . - II é verdadeira:
não é subespaço (apresentamos contraexemplo).
Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(B)