Q9: O conjunto-solução do sistema abaixo é igual ao de qual sistema dentre as opções?
\left[\begin{array}{rrrr|r}1 & 0 & -4 & -2 & 3 \\\\ 1 & 0 & -2 & -3 & -2 \\\\ -1 & 0 & 0 & 5 & 8 \\\\ -1 & 0 & 6 & 1 & -8\end{array}\right]
(A) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear representado pela matriz aumentada (peguei todos os coeficientes do enunciado):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -4 & -2 & 3 \\\\ 1 & 0 & -2 & -3 & -2 \\\\ -1 & 0 & 0 & 5 & 8 \\\\ -1 & 0 & 6 & 1 & -8 \end{array}\right]
As perguntas implícitas são:
  • Qual é o conjunto- solução desse sistema (ou forma reduzida equivalente)?
  • Entre as alternativas (A), (B), (C), (D) ou (E), qual matriz aumentada tem o mesmo conjunto- solução?
Informações relevantes dadas:
  • São quatro equações e quatro incógnitas; vou chamar as incógnitas de (x_1,x_2,x_3,x_4) na ordem das colunas.
  • A segunda coluna tem todos os coeficientes iguais a zero (isto é, a variável x_2 não aparece em nenhuma equação).
  • As opções (A)–(D) mostram sistemas já reduzidos onde aparecem equações para x_1,x_3,x_4 (o que sugere que x_2 será variável livre). Vou verificar qual das alternativas tem exatamente as mesmas equalidades para x_1,x_3,x_4.

Passo 2

Estratégia de solução (sem pular etapas): aplicar eliminação de Gauss (operar linhas) para reduzir o sistema e achar os valores de [x_1,x_3,x_4); x_2 será tratada como variável livre desde já porque sua coluna é nula.
Escrevendo as equações correspondentes às linhas:
\begin{cases} x_1 -4x_3 -2x_4 = 3,\\[4pt] x_1 -2x_3 -3x_4 = -2,\\[4pt] - x_1 +0\cdot x_2 +0x_3 +5x_4 = 8,\\[4pt] - x_1 +6x_3 + x_4 = -8. \end{cases}
Vou usar a primeira linha como pivô para eliminar (x_1] nas linhas 2,3,4.]

Passo 3

Eliminação de x_1:
  • Calcule R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
    Em termos de equações:
    (x_1 -2x_3 -3x_4) - (x_1 -4x_3 -2x_4) = -2 - 3.
    No lado esquerdo os x_1 cancelam e os coeficientes de x_3,x_4 ficam:
    (-2 -(-4))x_3 + (-3 -(-2))x_4 = -5.
    Ou seja,
    2x_3 - x_4 = -5.
  • Calcule R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
    (-x_1 +0x_3 +5x_4) + (x_1 -4x_3 -2x_4) = 8 + 3.
    Novamente x_1 cancela e fica:
    (-4)x_3 + 3x_4 = 11.
  • Calcule R_4 \leftarrow R_4 + R_1.
    (-x_1 +6x_3 + x_4) + (x_1 -4x_3 -2x_4) = -8 + 3.
    Fica:
    2x_3 - x_4 = -5.
    Repare que a nova linha 4 é idêntica à nova linha 2 (linha repetida).
Após essas operações, o sistema equivalente é:
\begin{cases} x_1 -4x_3 -2x_4 = 3,\\[4pt] 2x_3 - x_4 = -5,\\[4pt] -4x_3 + 3x_4 = 11,\\[4pt] 2x_3 - x_4 = -5 \quad(\text{repetida}). \end{cases}]

Passo 4

Resolver o subsistema para x_3,x_4\) usando as duas equações independentes: \[\begin{cases} 2x_3 - x_4 = -5,\\[4pt] -4x_3 + 3x_4 = 11. \end{cases}
Explico uma técnica simples: multiplicar a primeira equação por 2\] e somar à segunda para eliminar \(x_3.
Multiplicando a primeira por 2:
4x_3 - 2x_4 = -10.
Somando com a segunda:
(4x_3 - 2x_4) + (-4x_3 + 3x_4) = -10 + 11.
Os termos em x_3 cancelam, ficando:
( -2x_4 + 3x_4 ) = 1 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 1.
Agora substituir x_4=1 na primeira equação 2x_3 - x_4 = -5:
2x_3 - 1 = -5 \quad\Rightarrow\quad 2x_3 = -4 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -2.]

Passo 5

Achar x_1 substituindo x_3 e x_4 na primeira equação x_1 -4x_3 -2x_4 = 3:
x_1 -4(-2) -2(1) = 3.
Calcule os termos:
x_1 +8 -2 = 3 \quad\Rightarrow\quad x_1 +6 = 3 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -3.
Observação sobre x_2: como toda a segunda coluna da matriz inicial era zero, a variável x_2 não aparece em nenhuma equação. Isso significa que x_2 é variável livre e pode ser qualquer valor (digamos x_2 é parâmetro t\in\mathbb{R}). Portanto o conjunto- solução é
\{(x_1,x_2,x_3,x_4) = (-3,\, t,\, -2,\, 1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Passo 6

Comparar com as alternativas: cada alternativa apresenta uma matriz reduzida que fixa valores para x_1,x_3,x_4 e não menciona x_2 (ou seja, x_2 é livre). Precisamos da alternativa que dá x_1=-3, x_3=-2, x_4=1.
Verificando as opções (todas escritas em forma de equações):
  • (A) dá x_1=-3,\; x_3=1,\; x_4=-2 — não bate.
  • (B) dá x_1=-3,\; x_3=-2,\; x_4=1 — bate exatamente com nossos resultados.
  • (C) e (D) dão outros valores diferentes — não batem.
Portanto a alternativa correta é a (B).

Resposta

(B)

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