Q8: Considere os seguintes sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
não-nulos.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
tem apenas a solução zero, então
tem solução.
II - Se
tem solução, então
tem infinitas soluções.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá dois sistemas lineares, escritos por suas matrizes aumentadas, com
e todos não nulos:
As afirmativas a avaliar são:
I - Se tem apenas a solução zero, então
tem solução.
II - Se tem solução, então
tem infinitas soluções.
I - Se
II - Se
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é o sistema homogêneo cuja equação vetorial é
-
é o sistema não-homogêneo cuja equação vetorial é
- Todos os vetores
estão em e são não nulos.
Passo 2
Entender o que significa “
tem apenas a solução zero”.
O sistema homogêneo
O sistema homogêneo
ter apenas a solução trivial
significa que a combinação linear
só tem a solução
. Em linguagem simples: as colunas
são linearmente independentes.
Explicando o conceito (passo a passo, imagem mental): vetores são linearmente independentes quando nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se três vetores em
são linearmente independentes, eles geram o espaço todo
(formam uma base de
).
Passo 3
Analisando a afirmativa I com base no Passo 2.
Se são linearmente independentes (situação equivalente a “
tem apenas a solução zero”), então nenhum vetor desses pertence ao subespaço gerado pelos outros dois. Em particular,
NÃO pertence ao span
.
Se
Mas
pergunta exatamente se existe
tal que
ou seja, se
. Como, no caso de independência das três colunas,
, o sistema
NÃO tem solução.
Conclusão parcial: a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Agora analisar a afirmativa II: “Se
tem solução, então
tem infinitas soluções.” Primeiro traduzir
ter solução.
ou seja,
.
Vamos usar essa informação dentro de
. Escrevendo
e substituindo
:
Agrupando termos:
Passo 5
Estudar os casos para concluir sobre o número de soluções de
.
Caso A:
e
são linearmente independentes.
Nesse caso, a única forma de
Nesse caso, a única forma de
ser verdadeira é que os coeficientes sejam zero:
Essas duas equações determinam
e
em função de
:
e
é livre (qualquer valor funciona). Portanto há infinitas soluções (uma família uniparamétrica), incluindo soluções não triviais.
Caso B:
e
são linearmente dependentes.
Então existe tal que
. Como
, na verdade
também é múltiplo de
:
para algum
. Substituindo no sistema homogêneo,
Então existe
Como
, isso implica apenas uma equação linear entre
:
que tem duas variáveis livres e, portanto, infinitas soluções (dimensão do espaço de soluções igual a
).
Passo 6
Resumo das análises: sempre que
tem solução (ou seja,
), o sistema homogêneo
tem ao menos uma dimensão de espaço de soluções não-trivial — nos dois casos analisados resulta em infinitas soluções. Logo a afirmativa II é verdadeira.
Juntando os resultados anteriores: I é falsa; II é verdadeira.
Resposta
D