Q8: Considere os seguintes sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right]
\operatorname{com} \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} \in \mathbb{R}^{3} não-nulos.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se S_{1} tem apenas a solução zero, então S_{2} tem solução.
II - Se S_{2} tem solução, então S_{1} tem infinitas soluções.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares, escritos por suas matrizes aumentadas, com \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\in\mathbb{R}^{3} e todos não nulos:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right].
As afirmativas a avaliar são:
I - Se S_{1} tem apenas a solução zero, então S_{2} tem solução.
II - Se S_{2} tem solução, então S_{1} tem infinitas soluções.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • S_{1} é o sistema homogêneo cuja equação vetorial é
\vec{v}_{1}x_{1}+\vec{v}_{2}x_{2}+\vec{v}_{3}x_{3}=\overrightarrow{0}.
  • S_{2} é o sistema não-homogêneo cuja equação vetorial é
\vec{v}_{1}y_{1}+\vec{v}_{2}y_{2}=\vec{v}_{3}.
  • Todos os vetores \vec{v}_{i} estão em \mathbb{R}^{3} e são não nulos.

Passo 2

Entender o que significa “ S_{1} tem apenas a solução zero”.
O sistema homogêneo
\vec{v}_{1}x_{1}+\vec{v}_{2}x_{2}+\vec{v}_{3}x_{3}=\overrightarrow{0}
ter apenas a solução trivial (x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0) significa que a combinação linear
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}
só tem a solução c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Em linguagem simples: as colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são linearmente independentes.
Explicando o conceito (passo a passo, imagem mental): vetores são linearmente independentes quando nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se três vetores em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes, eles geram o espaço todo \mathbb{R}^{3} (formam uma base de \mathbb{R}^{3}).

Passo 3

Analisando a afirmativa I com base no Passo 2.
Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são linearmente independentes (situação equivalente a “ S_{1} tem apenas a solução zero”), então nenhum vetor desses pertence ao subespaço gerado pelos outros dois. Em particular, \vec{v}_{3} NÃO pertence ao span \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
Mas S_{2} pergunta exatamente se existe (y_{1},y_{2}) tal que
\vec{v}_{1}y_{1}+\vec{v}_{2}y_{2}=\vec{v}_{3},
ou seja, se \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Como, no caso de independência das três colunas, \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, o sistema S_{2} NÃO tem solução.
Conclusão parcial: a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Agora analisar a afirmativa II: “Se S_{2} tem solução, então S_{1} tem infinitas soluções.” Primeiro traduzir S_{2} ter solução.
S_{2} ter solução significa que existem escalares a,b tais que
\vec{v}_{3}=a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2},
ou seja, \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
Vamos usar essa informação dentro de S_{1}. Escrevendo S_{1} e substituindo \vec{v}_{3}:
\vec{v}_{1}x_{1}+\vec{v}_{2}x_{2}+\vec{v}_{3}x_{3}=\overrightarrow{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{v}_{1}x_{1}+\vec{v}_{2}x_{2}+(a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2})x_{3}=\overrightarrow{0}.
Agrupando termos:
\vec{v}_{1}(x_{1}+a x_{3})+\vec{v}_{2}(x_{2}+b x_{3})=\overrightarrow{0}.

Passo 5

Estudar os casos para concluir sobre o número de soluções de S_{1}.
Caso A: \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são linearmente independentes.
Nesse caso, a única forma de
\vec{v}_{1}(x_{1}+a x_{3})+\vec{v}_{2}(x_{2}+b x_{3})=\overrightarrow{0}
ser verdadeira é que os coeficientes sejam zero:
x_{1}+a x_{3}=0,\qquad x_{2}+b x_{3}=0.
Essas duas equações determinam x_{1} e x_{2} em função de x_{3}:
x_{1}=-a x_{3},\qquad x_{2}=-b x_{3},
e x_{3} é livre (qualquer valor funciona). Portanto há infinitas soluções (uma família uniparamétrica), incluindo soluções não triviais.
Caso B: \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são linearmente dependentes.
Então existe \lambda tal que \vec{v}_{2}=\lambda\vec{v}_{1}. Como \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, na verdade \vec{v}_{3} também é múltiplo de \vec{v}_{1}: \vec{v}_{3}=\mu\vec{v}_{1} para algum \mu. Substituindo no sistema homogêneo,
\vec{v}_{1}x_{1}+\lambda\vec{v}_{1}x_{2}+\mu\vec{v}_{1}x_{3}=\overrightarrow{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{v}_{1}(x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3})=\overrightarrow{0}.
Como \vec{v}_{1}\neq\overrightarrow{0}, isso implica apenas uma equação linear entre x_{1},x_{2},x_{3}:
x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3}=0,
que tem duas variáveis livres e, portanto, infinitas soluções (dimensão do espaço de soluções igual a 2).

Passo 6

Resumo das análises: sempre que S_{2} tem solução (ou seja, \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}), o sistema homogêneo S_{1} tem ao menos uma dimensão de espaço de soluções não-trivial — nos dois casos analisados resulta em infinitas soluções. Logo a afirmativa II é verdadeira.
Juntando os resultados anteriores: I é falsa; II é verdadeira.

Resposta

D

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