Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações: R:\left\{\begin{array}{l}x-2 y \geq 2 \\\ x+y \leq-1 \\\ x^{2}+y^{2} \leq 25 \\\ y \geq 1\end{array}\right.
Passo 1
Anotar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece o conjunto R\) definido por quatro inequações:
\[\begin{cases} x-2y \geq 2,\\[4pt] x+y \leq -1,\\[4pt] x^{2}+y^{2} \leq 25,\\[4pt] y \geq 1. \end{cases}
O que se pede: fazer um esboço (desenho) da região do plano que satisfaz todas essas quatro condições ao mesmo tempo — isto é, o conjunto interseção das quatro regiões.
Observações importantes que vou usar depois (limites/bordas incluídas porque há \geq\] e \(\leq):
As duas primeiras são semi-planos delimitados por retas: x-2y=2 e x+y=-1.
A terceira é o disco fechado de centro na origem e raio 5: x^{2}+y^{2}\leq25.
A quarta é a semi-plano acima da reta horizontal y=1, com a própria reta incluída.]
Passo 2
Esboço das retas e curvas que delimitam as regiões — como desenhar cada fronteira e identificar rapidamente qual lado satisfaz a desigualdade.
Reta x-2y=2.
Isolar y: 2y = x-2\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}x-1.
Interceptos úteis: para x=0 tem y=-1; para y=0 tem x=2. Então a reta passa por (0,-1) e (2,0). A inclinação é 1/2 (ligeiramente ascendente).
A região pedida é o lado em que x-2y\ge 2, i.e. onde x é grande o suficiente em relação a y. Vou determinar o lado exato por teste no passo seguinte.
Reta x+y=-1.
Isolar y: y=-1-x.
Interceptos: para x=0 tem y=-1; para y=0 tem x=-1. Reta com inclinação -1, passa por (0,-1) e (-1,0).
Região: x+y\le -1 — é o lado “abaixo/à esquerda” dessa reta; o lado exato será confirmado por teste.
Circunferência x^{2}+y^{2}=25.
Centro (0,0), raio 5. A região x^{2}+y^{2}\le25 é o disco fechado (tudo dentro inclusive a fronteira).
Reta horizontal y=1.
Região y\ge 1 é tudo acima (e na própria reta y=1).
Passo 3
Como descobrir qual lado de cada reta escolher (técnica prática que se usa no rascunho da prova): testar um ponto simples fora da reta.
Para x-2y\ge 2, testar (0,0):
0-0\ge 2\quad\text{é falso},é
então o ponto (0,0) NÃO pertence à região. Testar (4,1) (um ponto que fica “à direita/para cima” da reta):
4-2\cdot1 =2\ge 2\quad\text{é verdadeiro},é
logo a região válida para essa inequação é o semi-plano que contém (4,1); em outras palavras, ao desenhar a reta y=\tfrac{1}{2}x-1 é preciso sombrear o lado que fica para valores maiores de x-2y (o lado onde x é suficientemente grande).
Para x+y\le -1, testar (0,0):
0+0\le -1\quad\text{é falso},é
testar (-4,3):
-4+3=-1\le -1\quad\text{é verdadeiro},é
então a região válida é o semi-plano que contém (-4,3) — isto é, o lado “à esquerda/abaixo” da reta y=-1-x.
Para x^{2}+y^{2}\le25 já sabemos: é o disco de raio 5 englobando a origem.
Para y\ge1: tudo acima da linha horizontal y=1.
Com essas informações, num esboço deve-se desenhar as duas retas e sombrear os lados conforme acima, desenhar o disco de raio 5 e a linha y=1 e tomar a interseção de todas as áreas sombreadas.
Passo 4
Análise algébrica da possibilidade de existir ponto que satisfaça tudo ao mesmo tempo — ver se a interseção é não vazia.
Das duas desigualdades lineares tiramos limites diretos sobre x. Reescrever cada uma isolando x:
De x-2y\ge 2 vem
x \ge 2y+2.
De x+y\le -1 vem
x \le -1-y.
Se um ponto satisfaz ambas, então devemos ter simultaneamente
Portanto qualquer ponto que satisfaça as duas desigualdades lineares necessariamente tem y\le -1.
Passo 5
Combinar com a condição y\ge 1 e concluir.
Temos agora duas informações simultâneas que qualquer ponto do conjunto R deveria satisfazer:
y \le -1 \qquad\text{e}\qquad y \ge 1.
Essas duas condições são incompatíveis (não existe número real y que seja ao mesmo tempo \le -1 e \ge 1). Logo não existe ponto (x,y) que satisfaça as duas desigualdades lineares e ao mesmo tempo a condição y\ge1.
Como a condição x^{2}+y^{2}\le25 só restringe ainda mais (está dentro do disco), ela não pode “restaurar” compatibilidade entre y\le -1 e y\ge1. Portanto NÃO EXISTE nenhum ponto que satisfaça todas as quatro condições simultaneamente.
Passo 6
Consequência prática para o esboço.
O esboço deve mostrar as fronteiras (as duas retas, a circunferência de raio 5 e a reta y=1), mas quando tentar sombrear a região que satisfaz todas as quatro desigualdades verá que não há região comum: a interseção é vazia.
Comentário geométrico curto: as duas desigualdades lineares forçam y\le -1, enquanto a desigualdade y\ge1 exige o oposto; por isso a interseção é vazia mesmo antes de usar o disco.