1. Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]. Calcule B=A^{-1}. A entrada b_{11} vale:
    (a) 0
    (b) 3
    (c) 1
    (d) 2

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede o inverso B = A^{-1}, mais especificamente a entrada b_{11}. Para isso vamos usar que cada coluna de B é solução de A x = e_i.

Passo 2

Para encontrar b_{11} precisamos da primeira coluna de B, isto é, do vetor x = (x_1,x_2,x_3)^T que satisfaz
A\,x = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Escrevendo o sistema linear equivalente:
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1,\\\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0,\\\ x_1 = 0. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação já vem x_1 = 0\). Substituindo nas duas primeiras obtemos \[\begin{cases} x_2 + x_3 = 1,\\\\ 2x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Da segunda segue x_2 = -\tfrac{3}{2}x_3\]. Inserindo na primeira, \[-\tfrac{3}{2}x_3 + x_3 = 1 \;\Longrightarrow\; -\tfrac12 x_3 = 1 \;\Longrightarrow\; x_3 = -2,\] e então \(x_2 = 3.

Passo 5

Assim a primeira coluna de B é \bigl(0,\,3,\,-2\bigr)^T, logo
b_{11} = 0.

Resposta

(a) 0

Exercícios relacionados