e pede o conjunto solução S, dando cinco alternativas (A) a (e). Informação relevante:
Há três incógnitas x,y,z.
O enunciado apresenta cinco opções para S; preciso determinar qual delas coincide com o conjunto de todas as soluções do sistema.]
Passo 2
Uma forma prática de resolver sistemas é usar a matriz aumentada e eliminação de Gauss. A matriz aumentada (coeficientes | termos independentes) do sistema é
Explicando rápido: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a coluna à direita do traço vertical são os termos constantes. O objetivo é usar operações elementares em linhas para obter uma forma mais simples (triangular ou reduzida), daí ler as equações equivalentes e encontrar as incógnitas.]
Passo 3
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (porque a linha 2 tem coeficiente 1 em x, um pivô conveniente). Faço R_1\leftrightarrow R_2. A matriz passa a ser
Agora uso R_2 para zerar a segunda coluna em R_3. Faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Calculando:
segunda coluna: 10 - 2\cdot5 = 0,
terceira: -6 - 2\cdot(-3) = -6 +6 = 0,
termo independente: -6 - 2\cdot(-3) = -6 +6 = 0.
Assim R_3 vira uma linha de zeros: [0\;0\;0\;|\;0]. Isso indica que a terceira equação é linearmente dependente das duas primeiras (o sistema é consistente e tem, provavelmente, infinitas soluções com um parâmetro livre), ou seja, o posto é 2 < 3 incógnitas → uma família de soluções com uma dimensão.
Passo 6
Simplifico R_2 dividindo por 5 para obter um pivô 1 na coluna y:
Observação intuitiva: quando t=0 obtemos a solução particular \left(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5},0\right) (essa é uma solução específica, mas não a única).]
Passo 9
Checagem rápida (plugando a expressão geral nas primeiras equações para dar segurança):
Para a primeira equação 2x+y+z:2\!\left(\tfrac{4}{5}-\tfrac{4}{5}t\right)+\left(-\tfrac{3}{5}+\tfrac{3}{5}t\right)+t = \tfrac{8}{5}-\tfrac{8}{5}t-\tfrac{3}{5}+\tfrac{3}{5}t+t = \tfrac{5}{5} + \left(-\tfrac{8}{5}+\tfrac{3}{5}+ \tfrac{5}{5}\right)t = 1 + 0\cdot t = 1.
Para a segunda x-2y+2z e a terceira 5x+4z as substituições dão também 2 e 4 respectivamente (pode ser verificado da mesma forma). Isso confirma que a parametrização está correta.
Passo 10
Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com a parametrização encontrada é a alternativa (e).
Resposta
(e) S=\left\{\left(\frac{4}{5}-\frac{4}{5} t,-\frac{3}{5}+\frac{3}{5} t, t\right): t \in \mathbb{R}\right\}