O conjunto solução do sistema linear
\left\{\begin{array}{c} 2 x+y+z=1 \\\ x-2 y+2 z=2 \\\\ 5 x+4 z=4 \end{array}\right.
é
(A) S=\{(0,0,1)\}.
(B) S=\left\{\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}, 0\right)\right\}.
(C) S=\left\{\left(-\frac{3}{5}+\frac{3}{5} t, \frac{4}{5}-\frac{4}{5} t, t\right): t \in \mathbb{R}\right\}.
(D) S=\emptyset.
(e) S=\left\{\left(\frac{4}{5}-\frac{4}{5} t,-\frac{3}{5}+\frac{3}{5} t, t\right): t \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\left\{\begin{array}{r} 2x+y+z=1\\[4pt] x-2y+2z=2\\[4pt] 5x+4z=4 \end{array}\right.
e pede o conjunto solução S, dando cinco alternativas (A) a (e). Informação relevante:
  • Há três incógnitas x,y,z.
  • O enunciado apresenta cinco opções para S; preciso determinar qual delas coincide com o conjunto de todas as soluções do sistema.]

Passo 2

Uma forma prática de resolver sistemas é usar a matriz aumentada e eliminação de Gauss. A matriz aumentada (coeficientes | termos independentes) do sistema é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 5 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right].
Explicando rápido: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a coluna à direita do traço vertical são os termos constantes. O objetivo é usar operações elementares em linhas para obter uma forma mais simples (triangular ou reduzida), daí ler as equações equivalentes e encontrar as incógnitas.]

Passo 3

Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (porque a linha 2 tem coeficiente 1 em x, um pivô conveniente). Faço R_1\leftrightarrow R_2. A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right].
Motivo: ter um 1 na posição de pivô facilita eliminar os coeficientes abaixo.]

Passo 4

Elimino os coeficientes abaixo do pivô da primeira coluna:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculando cada entrada:
    • primeira coluna: 2-2\cdot1=0,
    • segunda coluna: 1-2\cdot(-2)=1+4=5,
    • terceira coluna: 1-2\cdot2=1-4=-3,
    • termo independente: 1-2\cdot2=1-4=-3.
      Então R_2=[0\;5\;-3\;|\;-3].
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1. Calculando:
    • primeira coluna: 5-5\cdot1=0,
    • segunda coluna: 0-5\cdot(-2)=0+10=10,
    • terceira coluna: 4-5\cdot2=4-10=-6,
    • termo independente: 4-5\cdot2=4-10=-6.
      Então R_3=[0\;10\;-6\;|\;-6].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 5 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 10 & -6 & -6 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora uso R_2 para zerar a segunda coluna em R_3. Faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Calculando:
  • segunda coluna: 10 - 2\cdot5 = 0,
  • terceira: -6 - 2\cdot(-3) = -6 +6 = 0,
  • termo independente: -6 - 2\cdot(-3) = -6 +6 = 0.
Assim R_3 vira uma linha de zeros: [0\;0\;0\;|\;0]. Isso indica que a terceira equação é linearmente dependente das duas primeiras (o sistema é consistente e tem, provavelmente, infinitas soluções com um parâmetro livre), ou seja, o posto é 2 < 3 incógnitas → uma família de soluções com uma dimensão.

Passo 6

Simplifico R_2 dividindo por 5 para obter um pivô 1 na coluna y:
R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2 = [0\;1\;-\tfrac{3}{5}\;|\;-\tfrac{3}{5}].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Faço eliminação para obter coeficiente zero acima do pivô em y: R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2. Calculando:
  • coeficiente de x: 1 + 2\cdot0 = 1,
  • coeficiente de y: -2 + 2\cdot1 = 0,
  • coeficiente de z: 2 + 2\cdot\left(-\tfrac{3}{5}\right) = 2 - \tfrac{6}{5} = \tfrac{10}{5}-\tfrac{6}{5}=\tfrac{4}{5},
  • termo independente: 2 + 2\cdot\left(-\tfrac{3}{5}\right) = 2 - \tfrac{6}{5} = \tfrac{4}{5}.
Logo R_1=[1\;0\;\tfrac{4}{5}\;|\;\tfrac{4}{5}]. A matriz reduzida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{4}{5} & \tfrac{4}{5}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora traduzimos de volta para equações:
\begin{cases} x + \dfrac{4}{5}z = \dfrac{4}{5},\\[6pt] y - \dfrac{3}{5}z = -\dfrac{3}{5}. \end{cases}
Temos 3 incógnitas e apenas 2 equações independentes, então tomo z como parâmetro livre. Defino t=z com t\in\mathbb{R}. Resolvo para x e y:
x = \dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{5}t,\qquad y = -\dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{5}t,\qquad z = t.
Portanto o conjunto solução é
S=\left\{\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{5}t,\; -\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}t,\; t\right): t\in\mathbb{R}\right\}.
Observação intuitiva: quando t=0 obtemos a solução particular \left(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5},0\right) (essa é uma solução específica, mas não a única).]

Passo 9

Checagem rápida (plugando a expressão geral nas primeiras equações para dar segurança):
  • Para a primeira equação 2x+y+z: 2\!\left(\tfrac{4}{5}-\tfrac{4}{5}t\right)+\left(-\tfrac{3}{5}+\tfrac{3}{5}t\right)+t = \tfrac{8}{5}-\tfrac{8}{5}t-\tfrac{3}{5}+\tfrac{3}{5}t+t = \tfrac{5}{5} + \left(-\tfrac{8}{5}+\tfrac{3}{5}+ \tfrac{5}{5}\right)t = 1 + 0\cdot t = 1.
  • Para a segunda x-2y+2z e a terceira 5x+4z as substituições dão também 2 e 4 respectivamente (pode ser verificado da mesma forma). Isso confirma que a parametrização está correta.

Passo 10

Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com a parametrização encontrada é a alternativa (e).

Resposta

(e) S=\left\{\left(\frac{4}{5}-\frac{4}{5} t,-\frac{3}{5}+\frac{3}{5} t, t\right): t \in \mathbb{R}\right\}

Exercícios relacionados