Considere um heptágono convexo em que seus ângulos internos, organizados em determinada ordem, estão em progressão aritmética-PA. O valor do quarto termo dessa PA, em radianos, é
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(e)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- É um heptágono convexo (ou seja, um polígono com
lados). - Os seus
ângulos internos, dispostos numa ordem, formam uma progressão aritmética (PA) de termos. - Pede o valor do quarto termo dessa PA (ou seja, do quarto ângulo), em radianos.
- Opções fornecidas:
- (A)
. - (B)
. - (C)
. - (D)
. - (E)
.
- (A)
Passo 2
Primeiro, preciso do total da soma dos ângulos internos de um polígono convexo de
lados. A fórmula clássica é:
Explicando por que: qualquer polígono convexo de
lados pode ser dividido em
triângulos (por exemplo, prendendo um vértice e traçando diagonais para os outros vértices não adjacentes). Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a
. Somando os
triângulos dá
. Aqui
é o número de lados do polígono e
é a soma dos ângulos de cada triângulo em radianos.
No caso do heptágono temos
. Assim a soma dos
ângulos internos é
Passo 3
Agora lembrar o que é uma progressão aritmética (PA). Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante
(a razão) ao termo anterior. Se chamarmos o primeiro termo de
e a razão de
, o
-ésimo termo é
A soma dos
termos de uma PA é dada por
Uma observação muito útil: quando
é ímpar, o termo do meio da PA (o termo de índice
) é exatamente a média aritmética dos termos, ou seja,
Justificativa curta: os termos simétricos em relação ao centro somam sempre o mesmo valor
; como há
pares assim mais o termo central, a soma total
resulta em
vezes o termo central quando
é ímpar.
No nosso caso
é ímpar, então o termo central é o quarto termo
. Portanto o quarto termo é exatamente a média aritmética dos
ângulos:
Passo 4
Já calculamos
na etapa anterior:
. Então
Passo 5
Comparando com as opções do enunciado, o valor
corresponde à alternativa (D). É isso: por a soma total ser
e por a PA ter um número ímpar de termos, o termo central (o quarto) é simplesmente a média dos termos.
Resposta
(D)