Considere um heptágono convexo em que seus ângulos internos, organizados em determinada ordem, estão em progressão aritmética-PA. O valor do quarto termo dessa PA, em radianos, é
(A) \pi.
(B) \frac{2 \pi}{3}.
(C) \frac{3 \pi}{5}.
(D) \frac{5 \pi}{7}.
(e) \frac{6 \pi}{7}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • É um heptágono convexo (ou seja, um polígono com 7 lados).
  • Os seus 7 ângulos internos, dispostos numa ordem, formam uma progressão aritmética (PA) de 7 termos.
  • Pede o valor do quarto termo dessa PA (ou seja, do quarto ângulo), em radianos.
  • Opções fornecidas:
    • (A) \pi.
    • (B) \dfrac{2\pi}{3}.
    • (C) \dfrac{3\pi}{5}.
    • (D) \dfrac{5\pi}{7}.
    • (E) \dfrac{6\pi}{7}.

Passo 2

Primeiro, preciso do total da soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados. A fórmula clássica é:
\text{soma dos ângulos internos}=(n-2)\pi.â
Explicando por que: qualquer polígono convexo de n lados pode ser dividido em n-2 triângulos (por exemplo, prendendo um vértice e traçando diagonais para os outros vértices não adjacentes). Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a \pi. Somando os (n-2) triângulos dá (n-2)\pi. Aqui n é o número de lados do polígono e \pi é a soma dos ângulos de cada triângulo em radianos.
No caso do heptágono temos n=7. Assim a soma dos 7 ângulos internos é
(7-2)\pi=5\pi.

Passo 3

Agora lembrar o que é uma progressão aritmética (PA). Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante d (a razão) ao termo anterior. Se chamarmos o primeiro termo de a_1 e a razão de d, o k-ésimo termo é
a_k = a_1 + (k-1)d.
A soma dos n termos de uma PA é dada por
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1+a_n).
Uma observação muito útil: quando n é ímpar, o termo do meio da PA (o termo de índice \dfrac{n+1}{2}) é exatamente a média aritmética dos termos, ou seja,
\frac{S_n}{n}=a_{\frac{n+1}{2}}.
Justificativa curta: os termos simétricos em relação ao centro somam sempre o mesmo valor a_1+a_n; como há \dfrac{n-1}{2} pares assim mais o termo central, a soma total \dfrac{n}{2}(a_1+a_n) resulta em n vezes o termo central quando n é ímpar.
No nosso caso n=7 é ímpar, então o termo central é o quarto termo a_4. Portanto o quarto termo é exatamente a média aritmética dos 7 ângulos:
a_4=\frac{S_7}{7}.

Passo 4

Já calculamos S_7 na etapa anterior: S_7=5\pi. Então
a_4=\frac{S_7}{7}=\frac{5\pi}{7}.

Passo 5

Comparando com as opções do enunciado, o valor \dfrac{5\pi}{7} corresponde à alternativa (D). É isso: por a soma total ser 5\pi e por a PA ter um número ímpar de termos, o termo central (o quarto) é simplesmente a média dos termos.

Resposta

(D) \dfrac{5\pi}{7}

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