Jonas está de mudança e irá acomodar seus 120 discos de vinil, todos diferentes, em 6 caixas iguais, cada uma com exatamente 20 discos. Considerando essa situação hipotética, assinale a opção que indica corretamente a quantidade de maneiras de que Jonas dispõe para fazer essa distribuição.
(A) \left(\frac{120!}{20!\cdot 6!}\right)^{6}
(B) \sum_{k=0}^{5} \frac{(120-20 k)!}{20!(100-20 k)!}
(C) \frac{120!}{(20!)^{6} \cdot 6!}
(c) \frac{1}{6!} \sum_{k=0}^{5} \frac{(120-20 k)!}{20!(100-20 k)!}
(e) \frac{120!}{(20!)^{6}}

Passo 1

O enunciado diz que Jonas tem 120 discos de vinil, todos diferentes, e quer colocá‑los em 6 caixas idênticas, com exatamente 20 discos em cada caixa. A pergunta é: de quantas maneiras distintas ele pode fazer essa distribuição?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • 120 objetos distintos.
  • 6 caixas idênticas (ou seja, sem rótulos), cada uma deve conter exatamente 20 objetos.
  • Queremos contar as partições do conjunto de 120 discos em 6 subconjuntos de tamanho 20 (a ordem entre caixas não importa).

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas): primeiro contar quantas distribuições existem se as caixas fossem distinguíveis (rotuladas), pois esse cálculo é direto; depois corrigir pelo fato de que as caixas são idênticas, dividindo pelo número de permutações dos rótulos que geram a mesma distribuição. Esta abordagem é a mais básica e direta para problemas desse tipo.

Passo 3

Contagem com caixas rotuladas (caixa 1, caixa 2, …, caixa 6). Uma maneira natural de obter esse número é escolher sequencialmente os 20 discos que vão para cada caixa:
\binom{120}{20}\cdot \binom{100}{20}\cdot \binom{80}{20}\cdot \binom{60}{20}\cdot \binom{40}{20}\cdot \binom{20}{20}.
Agora vou simplificar esse produto em termos fatoriais. Lembre que
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aplicando isso a cada fator do produto, obtemos (mostrando a telescopia de fatoriais):
\begin{aligned} \binom{120}{20}\binom{100}{20}\binom{80}{20}\binom{60}{20}\binom{40}{20}\binom{20}{20} &= \frac{120!}{20!\,100!}\cdot\frac{100!}{20!\,80!}\cdot\frac{80!}{20!\,60!}\\\ &\quad\cdot\frac{60!}{20!\,40!}\cdot\frac{40!}{20!\,20!}\cdot\frac{20!}{20!\,0!}. \end{aligned}
Cancelemos os fatoriais repetidos 100!,80!,60!,40!,20! entre numeradores e denominadores; resta
\frac{120!}{(20!)^{6}}.
Esse é o número de maneiras quando as caixas são rotuladas (ordenadas).

Passo 4

Agora ajustar para caixas idênticas. Quando as caixas são indistinguíveis, cada partição não ordenada do conjunto foi contada várias vezes no cálculo com caixas rotuladas: exatamente uma vez para cada permutação dos rótulos das 6 caixas. Ou seja, cada distribuição não ordenada foi contada 6! vezes na contagem rotulada. Portanto para obter o número desejado precisamos dividir por 6!. Assim o número de partições não ordenadas é
\frac{1}{6!}\cdot \frac{120!}{(20!)^{6}}.

Passo 5

Um exemplo pequeno para ver a ideia funcionando: com 4 discos distintos e 2 caixas idênticas com 2 discos cada, a contagem rotulada é \binom{4}{2}=6. Como as caixas são idênticas dividimos por 2! e obtemos 6/2=3 partições distintas, que são \{ab|cd\}, \{ac|bd\}, \{ad|bc\}. Isso confirma a necessidade de dividir por k! quando há k caixas idênticas.

Passo 6

Conclusão lógica: a expressão correta é
\frac{120!}{(20!)^{6}\cdot 6!}.
Breve comentário sobre as alternativas erradas (para fixar a intuição):
  • Não é \dfrac{120!}{(20!)^{6}} porque essa conta considera caixas rotuladas.
  • Expressões que somam fatorias estão incorretas porque não representam a contagem única de partições; o correto é o produto/razão que mostrei.
  • A forma com o fator 1/6! multiplicando a razão é a que corresponde exatamente ao problema das caixas idênticas.

Resposta

\dfrac{120!}{(20!)^{6}\cdot 6!}

Exercícios relacionados