Jonas está de mudança e irá acomodar seus 120 discos de vinil, todos diferentes, em 6 caixas iguais, cada uma com exatamente 20 discos. Considerando essa situação hipotética, assinale a opção que indica corretamente a quantidade de maneiras de que Jonas dispõe para fazer essa distribuição.
(A)
(B)
(C)
(c)
(e)
(A)
(B)
(C)
(c)
(e)
Passo 1
O enunciado diz que Jonas tem
discos de vinil, todos diferentes, e quer colocá‑los em
caixas idênticas, com exatamente
discos em cada caixa. A pergunta é: de quantas maneiras distintas ele pode fazer essa distribuição?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há
objetos distintos. - Há
caixas idênticas (ou seja, sem rótulos), cada uma deve conter exatamente objetos. - Queremos contar as partições do conjunto de
discos em subconjuntos de tamanho (a ordem entre caixas não importa).
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas): primeiro contar quantas distribuições existem se as caixas fossem distinguíveis (rotuladas), pois esse cálculo é direto; depois corrigir pelo fato de que as caixas são idênticas, dividindo pelo número de permutações dos rótulos que geram a mesma distribuição. Esta abordagem é a mais básica e direta para problemas desse tipo.
Passo 3
Contagem com caixas rotuladas (caixa
, caixa
, …, caixa
). Uma maneira natural de obter esse número é escolher sequencialmente os
discos que vão para cada caixa:
Agora vou simplificar esse produto em termos fatoriais. Lembre que
Aplicando isso a cada fator do produto, obtemos (mostrando a telescopia de fatoriais):
Cancelemos os fatoriais repetidos
entre numeradores e denominadores; resta
Esse é o número de maneiras quando as caixas são rotuladas (ordenadas).
Passo 4
Agora ajustar para caixas idênticas. Quando as caixas são indistinguíveis, cada partição não ordenada do conjunto foi contada várias vezes no cálculo com caixas rotuladas: exatamente uma vez para cada permutação dos rótulos das
caixas. Ou seja, cada distribuição não ordenada foi contada
vezes na contagem rotulada. Portanto para obter o número desejado precisamos dividir por
. Assim o número de partições não ordenadas é
Passo 5
Um exemplo pequeno para ver a ideia funcionando: com
discos distintos e
caixas idênticas com
discos cada, a contagem rotulada é
. Como as caixas são idênticas dividimos por
e obtemos
partições distintas, que são
,
,
. Isso confirma a necessidade de dividir por
quando há
caixas idênticas.
Passo 6
Conclusão lógica: a expressão correta é
Breve comentário sobre as alternativas erradas (para fixar a intuição):
- Não é
porque essa conta considera caixas rotuladas. - Expressões que somam fatorias estão incorretas porque não representam a contagem única de partições; o correto é o produto/razão que mostrei.
- A forma com o fator
multiplicando a razão é a que corresponde exatamente ao problema das caixas idênticas.