A solução da inequação 2|x-3| \leq x corresponde ao conjunto
A) [2,6].
B) (-\infty, 2] \cup[6,+\infty).
C) (-\infty, 6].
D) (-\infty, 2].
E) [2,+\infty).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto de todos os x que satisfazem a inequação
2|x-3| \leq x.
Informações relevantes que temos:
  • A inequação envolve valor absoluto |x-3|.
  • O conjunto solução deve corresponder a uma das alternativas dadas:
    A) [2,6].
    B) (-\infty,2]\cup[6,+\infty).
    C) (-\infty,6].
    D) (-\infty,2].
    E) [2,+\infty).

Passo 2

Observação importante sobre sinais: o membro esquerdo 2|x-3| é sempre não negativo, porque |x-3|\ge 0 para todo x. Portanto, para que 2|x-3|\le x seja possível, o lado direito x também precisa ser não negativo. Conclui-se que todos os candidatos à solução devem satisfazer
x\ge 0.
Se x<0, então 2|x-3|\ge 0> x e a inequação não ocorre. Assim já restringimos o domínio a x\ge 0.

Passo 3

Vamos usar a definição por partes do valor absoluto. Para |x-3|\) vale: \[|x-3|=\begin{cases} 3-x, & \text{se } x<3,\\[4pt] x-3, & \text{se } x\ge 3. \end{cases}
Como já temos x\ge 0\], as duas subfaixas relevantes são \(0\le x<3 e x\ge 3. Resolveremos separadamente em cada uma e depois juntamos as soluções.]

Passo 4

Caso x\ge 3. Aqui |x-3|=x-3. Substituindo na inequação:
2(x-3)\le x.
Agora resolvemos passo a passo:
2x-6\le x
subtrai-se x dos dois lados:
2x-6-x\le 0 \quad\Rightarrow\quad x-6\le 0
ou seja
x\le 6.
Combinando com a hipótese do caso x\ge 3, obtemos
3\le x\le 6,
ou seja o intervalo [3,6] nesta faixa.

Passo 5

Caso 0\le x<3. Aqui |x-3|=3-x. Substituindo:
2(3-x)\le x.
Resolver passo a passo:
6-2x\le x
somando 2x aos dois lados:
6\le 3x
dividindo por 3 (positiva):
x\ge 2.
Combinando com a hipótese do caso 0\le x<3, obtemos
2\le x<3,
ou seja o intervalo [2,3) nesta faixa.

Passo 6

Agora unimos as soluções dos dois casos: [2,3)\cup[3,6]=[2,6]. Verificação rápida dos extremos:
  • Para x=2: 2|2-3|=2\cdot1=2\le 2 OK.
  • Para x=6: 2|6-3|=2\cdot3=6\le 6 OK.
    E não há soluções com x<0. Portanto a solução completa é [2,6].

Resposta

A) [2,6]

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