O conjunto
é um tipo de forma geométrica conhecida como Toro, e é obtida rotacionando um círculo em torno de uma reta que não possui interseção com o círculo dado. Encontre o volume da região limitada pelo toro
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente tem um conjunto $ T = \left{(x, y, z) ;\left(\sqrt{x{2}+y{2}}-2\right){2}+z{2}=1 \right} $ que representa um toro. Um toro é uma forma geométrica que parece um donut, formada ao girar um círculo em torno de uma reta que não toca o círculo. Nosso objetivo aqui é encontrar o volume dessa região limitada pelo toro $ T $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do toro: $ \left(\sqrt{x{2}+y{2}}-2\right){2}+z{2}=1 $.
Aqui, $ \sqrt{x{2}+y{2}} $ representa a distância do ponto
ao eixo $ z $. Então, $ \sqrt{x{2}+y{2}} - 2 $ é a distância do ponto ao círculo que está a 2 unidades do eixo $ z $.
A equação completa descreve um círculo de raio 1 que está sendo girado ao redor do eixo $ z $, a uma distância de 2 unidades. Isso forma o toro.
Passo 3
Para encontrar o volume do toro, vamos usar a fórmula conhecida para o volume de um toro:
Onde:
- $ R $ é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação (neste caso, 2 unidades).
- $ r $ é o raio do círculo que está sendo girado (neste caso, 1 unidade).
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
O volume da região limitada pelo toro $ T $ é $ 4\pi^{2} $ unidades cúbicas.