O conjunto T=(x, y, z) ;(raizx^2+y^2-2)^2+z^2=1 é um tipo de forma geométrica conhecida como Toro, e é obtida rotacionando um círculo em torno de uma reta que não possui interseção com o círculo dado. Encontre o volume da região limitada pelo toro T.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente tem um conjunto $ T = \left{(x, y, z) ;\left(\sqrt{x{2}+y{2}}-2\right){2}+z{2}=1 \right} $ que representa um toro. Um toro é uma forma geométrica que parece um donut, formada ao girar um círculo em torno de uma reta que não toca o círculo. Nosso objetivo aqui é encontrar o volume dessa região limitada pelo toro $ T $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do toro: $ \left(\sqrt{x{2}+y{2}}-2\right){2}+z{2}=1 $.
Aqui, $ \sqrt{x{2}+y{2}} $ representa a distância do ponto (raizx^2+y^2-2)^2+z^2=1 ao eixo $ z $. Então, $ \sqrt{x{2}+y{2}} - 2 $ é a distância do ponto ao círculo que está a 2 unidades do eixo $ z $.
A equação completa descreve um círculo de raio 1 que está sendo girado ao redor do eixo $ z $, a uma distância de 2 unidades. Isso forma o toro.

Passo 3

Para encontrar o volume do toro, vamos usar a fórmula conhecida para o volume de um toro:
V = 2pi^2 R r^2
Onde:
  • $ R $ é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação (neste caso, 2 unidades).
  • $ r $ é o raio do círculo que está sendo girado (neste caso, 1 unidade).

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
V = 2pi^2 times 2 times 1^2
V = 4pi^2

Resposta

O volume da região limitada pelo toro $ T $ é $ 4\pi^{2} $ unidades cúbicas.

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