Resolva as EDOs via método de séries de potências:
Passo 1
A gente precisa resolver a EDO
usando o método de séries de potências. Nesse método, a ideia é escrever a solução como uma série de Taylor em torno de
, derivar termo a termo e igualar coeficientes para satisfazer a equação.
Passo 2
Suponha uma solução da forma
Derivando termo a termo, obtemos
Reindexando em potências de
(trocando
na soma de
), fica:
Passo 3
Substituindo
e
na EDO
e somando as séries:
Como a série deve anular para todo
, cada coeficiente satisfaz
Passo 4
Temos duas constantes livres,
e
. A partir da recursão, os termos pares e ímpares se separam. Para
:
e para
:
Isso gera duas séries independentes, uma só com potências pares e outra só com potências ímpares.
Passo 5
Observamos que as séries obtidas coincidem exatamente com as séries de Taylor de
e
:
Ou seja, cada parte da série gera uma das funções trigonométricas.
Passo 6
Resposta
y = a_0 \cos x + a_1 \sin x