Resolva as EDOs via método de séries de potências:
y^prime prime+y=0

Passo 1

A gente precisa resolver a EDO y'' + y = 0 usando o método de séries de potências. Nesse método, a ideia é escrever a solução como uma série de Taylor em torno de x=0, derivar termo a termo e igualar coeficientes para satisfazer a equação.

Passo 2

Suponha uma solução da forma
y = sumn=0^infty an x^n
Derivando termo a termo, obtemos
y' = sumn=1^infty n,an x^n-1,
y'' = sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2
Reindexando em potências de x^n (trocando nto n+2 na soma de y''), fica:
y'' = sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n

Passo 3

Substituindo y e y'' na EDO y''+y=0 e somando as séries:
sumn=0^infty l((n+2)(n+1)an+2 + anr)x^n = 0
Como a série deve anular para todo x, cada coeficiente satisfaz
an+2 = -an(n+2)(n+1)

Passo 4

Temos duas constantes livres, a0 e a1. A partir da recursão, os termos pares e ímpares se separam. Para n=2k:
a2k = (-1)^ka0(2k)!,
e para n=2k+1:
a2k+1 = (-1)^ka1(2k+1)!
Isso gera duas séries independentes, uma só com potências pares e outra só com potências ímpares.

Passo 5

Observamos que as séries obtidas coincidem exatamente com as séries de Taylor de cos x e sin x:
sumk=0^infty (-1)^ka0(2k)!x^2k = a0cos x,
sumk=0^infty (-1)^ka1(2k+1)!x^2k+1 = a1sin x
Ou seja, cada parte da série gera uma das funções trigonométricas.

Passo 6

Resposta

y = a_0 \cos x + a_1 \sin x

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